在彎曲的時空中, 要怎麼樣移動時鐘, 才能在 100 秒的時間內, 取得時鐘上最長的時間呢? 費曼出了一個小問題讓我們猜.
根據前一篇的整理, 時鐘拿高就會變快; 鐘走得快, 時間計數器的數字就會變大啦! 不過, 既然有 100 秒的限制, 想要把時鐘拿得很高的話, 是不是要移動地很快呢? 不幸的是, 加速度一出現, 時間就變慢了. 因此在 100 秒內拿到非常非常高的話, 讓時間變快的美意就被加速度導致時間變慢所抵銷了!
時間變慢的因子是 w = w0 sqrt(1 – v2/C2)
時間變快的因子是 w = w0 (1+gH/c2)
兩者抵銷的話, DW=w0/c2 * (gH-v2/2)
所以將時鐘稍加移動, 的確可以讓時鐘走得比較久一點. 我們跳過一下計算過程, 就會得到: 如果對下面的式子最佳化, 就可以讓時鐘走得最久.
∫(mv2/2-mΦ)dt = 最小值
大家可以看出來, 積分中的這兩項就是動能和位能的公式. 把時鐘移高就是增加位能, 讓時鐘移動, 就是增加動能. 當兩者平衡的時候, 就像人造衛星環繞地球一樣. 乘坐人造衛星 (動能位能平衡) 就是讓時鐘跑得最久的一條路徑.
基於如此, 愛因斯坦得出兩條重力定律:
1. 曲律可以用逾半徑表示, 逾半徑的大小與球內的質量成正比. 它又叫做愛因斯坦場方程式 (Einstein’s field equation)
逾半徑 = GM/3c2 與運動速度完全無關
2. 在相同的初始條件與終端條件下, 物體的運動路徑總是原時 (proper time = 移動時鐘上的時間) 為最大的那一條路徑. 它又叫做愛因斯坦運動方程式 (Einstein’s equation of motion)
另外, 有人試著將上面的重力定律與牛頓定律, 或是電動力學相整合, 但是在數學上是失敗的, 因此這兩個式子是以文字的方式出現.
一般來說, 它和牛頓力學算出來的結果相當符合, 不過也有例外. 愛因斯坦就找出三個例證, 包括水星的軌道不是固定的橢圓形, 因為水星太靠近太陽, 所以它的光線在太陽附近會偏折等等.
費曼說, 凡是牛頓力學與愛因斯坦理論相牴觸時, 都是愛因斯坦對. 這就是費曼的六堂簡易相對論第六章的內容.
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