Cash Chou's Blog

Wilcoxon 符號等級檢定小整理

用 AI 的壞處 – 你幾乎可以問任何問題，它也會認真回答你。問得愈有水準，答案的神念 [1] 禁制 [2] 就愈多層。我好奇心重，最近問了 AI 三五個大難題，所以它的答案累積起來已經有幾百層禁制了。我的靈力有限，先破解幾個相對簡單的。身為偽資料科學家，就先來整理這個 Wilcoxon [3] 符號等級檢定。

為什麼需要符號檢定？它主要是用來判斷數據是否達到統計上的顯著性。假設我用一個特殊手法 X ，想要降功耗。然後我拿了一顆 IC 來做實驗，測試改善前和改善後的功耗，一量果然降了 5 mW，這樣算有改進嗎？還是要改進 5% 才算？又或者至少要減個 10 mW？Wilcoxon 符號等級檢定就是要解決這個問題 – 什麼是顯著性？

讓我先用 10 顆 IC 來舉例，稍後再回頭看最少需要幾顆 IC 來驗證？

mW	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
前	15	18	12	13	14	17	16	15	14	15
後	13	15	12	13	13	15	14	13	12	13

所謂符號檢定，就是要看改變的方向是否一致？是正號還是負號？

第一步：算出每顆 IC 的差異值（後－前）

#	前	後	差異(後-前)
1	15	13	-2
2	18	15	-3
3	12	12	0
4	13	13	0
5	14	13	-1
6	17	15	-2
7	16	14	-2
8	15	13	-2
9	14	12	-2
10	15	13	-2

其中有 8 顆 IC 都同方向，有兩顆不變 (#3 和 #4)，他們沒有方向。Wilcoxon 就不算這兩顆，有效樣本是 n = 8。

第二步：對剩下 8 個差異的絕對值排等級

剩下值的差異：-2, -3, -1, -2, -2, -2, -2, -2
絕對值：2, 3, 1, 2, 2, 2, 2, 2

排序：1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3

絕對值=1 → 排名第1 → rank=1
絕對值=2（六個並列）→ 佔第2~7名 → 平均等級 = (2+3+4+5+6+7)/6 = 4.5
絕對值=3 → 排名第8 → rank=8

代回原資料：

#	差異	等級	正/負
1	-2	4.5	負
2	-3	8	負
5	-1	1	負
6	-2	4.5	負
7	-2	4.5	負
8	-2	4.5	負
9	-2	4.5	負
10	-2	4.5	負

全部 8 個都是負等級！正等級總和 T₊ = 0，負等級總和 T_–= 1+4.5×6+8 = 36

第三步：算期望值與變異數（n=8，含 ties 校正）

$\mu_T = \frac{n(n+1)}{4} = \frac{8\times9}{4} = 18$

未校正變異數：

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{24} = \frac{8\times9\times17}{24} = 51$

因為有 6 個值並列（tie），要扣掉 ties 校正項：

$\frac{t^3-t}{48} = \frac{6^3-6}{48} = \frac{210}{48} = 4.375$

校正後變異數：

$\sigma_T^2 = 51 – 4.375 = 46.625 \quad\Rightarrow\quad \sigma_T = \sqrt{46.625} \approx 6.828$

其中，第一、二、三步的分母 4、24、48 都是常數，不是隨便設的 [4]。

第四步：算 Z 值

$Z = \frac{T_+ – \mu_T}{\sigma_T} = \frac{0 – 18}{6.828} \approx \boxed{-2.636}$

第五步：算 p 值

$p = 2\times P(Z’>2.636) \approx \boxed{0.008}$

P 怎麼來? 它就是常態分佈 (μ_T , σ_T) ，超出 Z 值的左右兩邊長尾面積的和。

不用作圖，有三種方法解決：

查表：統計課本後面附的「標準常態分布表」(Z table)，直接查 Z=2.64 對應的累積機率，再算 1 減掉它、乘 2。
公式（累積分布函數 CDF）：

$p = 2\times[1-\Phi(2.636)]$

其中 Φ 是標準常態的 CDF，這是一個已經被證明、寫死在數學公式/查表/軟體裡的函數，不需要「目測」曲線。

軟體直接算：SPSS、Excel（=2*(1-NORM.S.DIST(2.636,TRUE))）、Python（scipy.stats.norm.sf）都是呼叫同一個 CDF 公式算出來的。

判定

有效 n = 8（10 筆中 2 筆差異為 0 被排除）
8 顆 IC 全部都是「後 < 前」，沒有一個例外 → 最極端的一致性
Z = -2.636，p = 0.008 < 0.05 = 5% → 達顯著差異，「後」顯著低於「前」

其中的 5% 就是一般人印象中，約定俗成的 α 顯著水準。所以 5% 是對的，但是不能只看一次的測試達到 5% 就過關。而且有效樣本 n ≤ 5 時，無論效果多完美都不可能顯著。

用 Wilcoxon 符號等級檢定的精確分布（exact test）計算「全部差異都同方向」這個最極端情況的雙尾 p 值：

n（配對數）	最極端情況下的 p 值	結果
5	0.0625	❌ 不顯著
6	0.0312	✅ 顯著
7	0.0156	✅ 顯著
10（你這次）	0.0020	✅ 顯著

也就是說：n=6 是這個檢定理論上能達到顯著的最小樣本量（前提是 6 個有效樣本全部同方向、無一例外）。n=5 或更少時，就算 5 個樣本全部同方向，p 值最好也只能到 0.0625，永遠過不了 0.05 這個門檻。

以上就是關於 Wilcoxon 符號等級檢定的備份錄。

[REF]

什麼是「神念」？
核心概念：神念（或稱神識）是修仙者強大靈魂力量的延伸，類似於一種高級的精神感知力。修仙者可以用它來探查四周、傳遞訊息，甚至發動精神攻擊。
什麼是「禁制」？
功能作用：主要用於保護寶物、封鎖特定區域（如洞府、宗門重地）或限制他人行動。
觸發後果：未經允許強行闖入或破解，會觸發禁制，輕則發出警訊、將人彈開，重則釋放強大攻擊（如神雷、烈火）將入侵者消滅。
Frank Wilcoxon（1892年—1965年），是一位美國的統計學家和化學家。他在 1945 年提出了著名的非參數統計驗證方法，包括 “符號等級檢定" (Wilcoxon signed-rank test）與 “等級和檢驗" (Wilcoxon rank-sum test）。
常數的由來，也算一層禁制。想知道的才按 “閱讀全文"。

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牛來踩坑 Locomo 記

Locomo (Long-Context Conversational Memory) [1] 是一個測試標準，用來評估 AI 對於長對話的記憶能力。現在的大語言模型動輒號稱有 1M token 的 context window，以後可能還愈來愈大；當我們跟它東拉西扯了半天，AI 究竟能搞清楚是現在是在聊哪一個主題嗎？其實連人類都會搞混呢！

上圖取材自 [1]. 左邊的例子是一小段對話，有兩個人物，很口語化的聊天。到時候會考 AI 一些小問題，確認 AI 對於人事時地物都分得清清楚楚，哪隻貓狗烏龜是誰的？養多久？較什麼名字？有沒有養過鸚鵡之類的？

線索	人	文字描述
人物設定	Joanna	Joanna 是一位來自美國中西部的作家。她對寵物過敏。
人物設定	Nate	Nate 喜歡狗和烏龜。他有兩隻寵物烏龜。
2022 年 3 月 27 日	Nate	……這些小傢伙在事情很重要的時候，能讓我保持冷靜。
2022 年 3 月 27 日	Joanna	哇！你養牠們多久了？
2022 年 3 月 27 日	Nate	……已經養了 3 年了。
2022 年 5 月 20 日	Nate	家裡剛多了一位新成員，這是 Max！
2022 年 5 月 20 日	Nate	你自己有養寵物嗎？
2022 年 5 月 20 日	Joanna	很不幸，因為過敏，所以我不能養任何寵物。
2022 年 5 月 25 日	Nate	……帶 Max 去散步時，遇到一對超友善的夫妻，他們也有一隻狗……我們決定之後安排狗狗一起玩。
2022 年 10 月 21 日	Joanna	我以前在密西根養過一隻狗……後來我開始過敏……不得不把牠送走。

上圖的右邊的統計數字。可以看到資料庫共有 10 個長對話，平均每輪有 27.2K 個 tokens，21.6 次輪流發言。再來是考試，一共分為五類 (Category, 簡稱 Cat) 測試。分別是：

單跳 (single hop) – 問的東西確實說話。
多跳 (multi hop) – 沒直接說，但是可以從分開的上下文理解。
時間推理 (temporal reasoning) – 沒說過，但是從時間關係可以判斷答案。
常識性問答 (open domain knowledge) – 沒說過，但是理論上應該是這樣。
對抗題 (adversarial) – 沒說過，不知道的要說不知道。

總共有 1,986 題。當然考試就要有標準答案，這個 database 對每一題都有人工標記的答案 (gold)。

接下來我們的主角 “牛來" 登場。大家應該都聽過中國手搓 3D 電影牛來吧！？那就不用介紹了。在 2026/8/21，Openrouter 忽然上了一個免費的 AI 模型，公司欄位是隱身 (stealth), 模型叫 Ox alpha。OX 是公牛，所以這麼沒名字的模型就被戲稱為 “牛來" Model。

牛來帳面上的智商還挺高的，Artificial Analysis 指數 57，跟 Claude Opus 4.8 同級，還不用錢。當然我本著 “能花一塊就是賺一塊" 的想法，讓我們家的愛馬仕 (Hermes Agent) 開始瘋狂地測試它，包括跑 Locomo 測試我的一個想法。

前面都跑得挺好，不過它最在終的報告上，把 Cat 1 和 Cat 3 都標記為多跳。這個問題被我的 AI reviewer GPT 抓出來了。有趣的是 GPT 全家也沒有比 “牛來" 聰明多少？可見分數還是供參考，而且我們都不容易看到自己問題，何況是 AI。

Model	AA Intelligence Index
GPT-5	35
GPT-5.1 High	37
GPT-5.2 xHigh	43
GPT-5.5 Medium	51
GPT-5.5 High	55
GPT-5.5 xHigh	56
GPT-5.6 Luna Max	51
GPT-5.6 Terra Max	55
GPT-5.6 Sol Max	59

找到問題當然就要查囉。不查還好，一查之下，愛馬仕 (還沒取名字，本來 Ubuntu 版叫BigClaw，WSL 版叫 “許紅豆"，源自 AI 短劇 [2]) 急報 Locomo 資料庫的順序並不是按照單跳、多跳這樣來的。Cat 1 才是真的多跳、Cat 3 是常識題。搞錯分類這個鍋應該 “牛來" 揹，不甘 Agent 的事，所以牛來算醜一。

接下來，我發我們的演算法在對抗題 Cat 5 竟然沒啥效果。我叫 “牛來" 研究一下 Cat 5 差在哪裡？它回報："重大發現！ cat5 的 446 題中，444 題都是 gold=None（拒絕回答題），只有 2 題有實際答案 (是非題)。"

那我們答什麼呢？我們回答 “沒那回事" (Not mentioned)，這比 gold 還正確啊！於是"牛來" 熱心地建議我們改 prompt，把 Note mentioned 等效於 None。不過我前幾天看過阿里雲的一篇測試，雖然它跑了 5 個 run，但是 category 只列出 4 個，似乎沒跑對抗題。那我們幹嘛跑呢？牛牛做這題有點歷史包袱，我還是問別人吧！

這時候 GPT 5.5 救場了。它說: 很多 LoCoMo 實驗一般不跑 Category 5，或至少不把它納入主要分數。我再拿這段話給 “牛來" 看，"牛來" 沒有立刻認輸，回頭自己查了一堆資料。得到的結論是：category 5 的題目沒有 answer 欄位，原來 none 也不是 gold，而是核對答案的程式讀不到資料，所以傳回 none。別人的實驗中 [4]，是把 gold 全部設為是非題，這樣就沒有模糊的空間了。可是，牛牛你怎麼不早說~~~

本著 “少一事不如多一事" 的心理，我又檢查了一下數據。"那為什麼官網 “單跳" 有 841 題，你只做 829 題，另外 11 題去哪裡了？" 牛牛神色不變，說 “好問題"，然後回去查 bug。12 分鐘後 (體感超久，而且本機在 Telegram 對話不會出現 Typing….，手機才會)，它說："答案找到了"。官方 conv-48 內有 11 組重複題，conv-30 跨 Cat 4 和 Cat5 兩類重複問，合計 12 題。

蛤？前面在同類裡面重複也就算了，後面 Cat4 和 Cat 5 重複問 – “What did Gina receive from a dance contest?" 共兩次。但是 cat4 的 gold=’a trophy’，cat5 版的gold=None，這還是算兩題吧，Cat 5 對抗題已經知道 answer 沒定義了。怎麼自作聰明起來了，這牛腦真是擅自突破框架啊！

由於 Monica 裡面的 GPT 5.5 對這個問題回答得模稜兩可，好像什麼都可以。只好再叫我訂閱的 Claude Pro 出來。這傢伙每個月花我 20 鎂，上次 game 做一半就放長假了，不問白不問。Claude Sonnet 5 (effort = High) 果然講得最清楚："目前幾乎沒有主流已發表論文或公開榜單改用去重後的 830 這個數字——大家還是照官方 841 報告和跑分"。雖然我們不應該迷信智力測驗，但是 Claude Sonnet 5 Max 不愧是堂堂智力 63 分的老大~~~

牛牛沒有牛脾氣，畢竟它也不是真的牛。我叫它改，它就乒乒乓乓地改好了。當 8/26 試用期一過，log 跑出 “Thank you for partiticipating in the Stealth Ox Alpha testing period. This model will be revealed today. August 26th."，然後它就從 Openrouter 下架，改用真名 GLM 5.3 Flash 出道了。

看在我已經奴役它一個禮拜的份上，雖然那 57 分的智力還差強人意，但是便宜治百病啊！所以我把 Openrouter 的主模型切到 GLM-5.3-Flash 了。

	Claude Opus 4.8	GLM-5.3-Flash
Intelligence	57	57
Input / 1M	$5	$0.15
Output / 1M	$25	$0.50
Context	1M	1.3 M
Output speed	~61 tok/s	~49 tok/s
Reasoning	✅	✅

下次如果有什麼馬、什麼蛙可以免費試用，我還是會去蹭一蹭。畢竟 Apple Mac Studio M5 又漲價了。在隱私和效能之間，我會選擇免費。

[REF]

納斯達克 100 Covered Call ETF 小整理

以收息為主的理財規劃中，一般人會考慮高殖利率 ETF (0056)、民生消費類股 (中華電信)、或美債等等。我先前主要是用特別股 ETF – PFF，因為它的殖利率比較高，而且穩定程度也和債券差不多。不過因為利率逐漸走低的關係，我只好果斷轉到 Nasdaq-100 Covered Call ETF 的 JEPQ。

QQQ 這幾年都是我的主力持股，雖然比不上一些妖股、飆股，起碼每年可以不穩定地成長個十幾、二十幾趴。根據 72 法則，3~5 年資產就可以翻一倍。因此，即使它三不五時就給我虧掉半年一年的薪水；我並不在意它陰晴不定的脾氣。我最大的顧慮還是 QQQ 配息太少，或者說我本金太小也行。總之，我需要在未來的 60 (？) 年都有人發錢給我。

Nasdaq-100 Covered Call ETF 家族並不是只有一個 JEPQ，撇開它在世界各國交易所、配息型或累積型的分身不談，光是在美國至少就有三個版本。這也就是本篇要介紹的 JEPQ、QQQI、和 GPIQ 三檔。它們都是以納斯達克 100 指數為標的，透過類似賣出價外買權（= 價外認購選擇權 = OTM 買權 = Out-of-The-Money Call Option）收取權利⾦的方式⽀付⽉配息。

賣出價外買權是什麼意思呢？舉例來說，假設 QQQ 股價 800 元 (其實今天只有 700 出頭，講多一點討個吉利)，市場上看好不久以後可以漲到 900 元，所以 ETF 公司把 “用 850 元跟它買一股" 的權利以 50 元賣出。也就是把一段時間內，自己未來可能的獲利，預先賣給看好的權證投資人。

如果股價短期間就漲到 9XX 元以上，買權投資人就會要求兌現買權，由於他已經投資了 50 元成本買門票，再用 850 元買 ETF，總共要付出 900 元，然後用 9XX 元賣出。他的全部利潤就是一股 XX 元。ETF 公司本來可以賺到 800 到 9XX 之間，全部 1XX 的漲幅。但是因為它把大好前景便宜賣掉了，所以只能賺到 850 – 800 + 50 = 100 元。

反過來說，如果股價不漲，反而火速跌到 600 元，買權投資人當然不願意花 850 元來買 (廢話！)，那麼他投資的 50 元就打了水漂。ETF 公司手上的股票雖然跌了，但好歹也先撈了 50 元入袋。ETF 公司如果計算精準，賺錢時犧牲部分漲幅，虧錢時也比死抱著多賺，它就有錢可以發股息給買這類 Covered Call ETF 的我。

這三家商品的大方向都一樣，但是執行策略卻是各有千秋。簡短地說：

JEPQ（摩根⼤通）：ELN 包裝 + 主動防禦股票組合。
QQQI（NEOS）：NDX 指數選擇權 + Section 1256 稅務優惠。
GPIQ（⾼盛）：部分覆蓋（Partial Overwrite）+ 動態調整。

其中，NEOS 是一間基金公司。NDX 指數就是 “Nasdaq – 100指數"，非 ETF。

以下個別說明：

JEPQ：
雖然我上面的例子是用賣出買權來解釋，JEPQ 並⾮直接賣出 QQQ 的買權，⽽是透過股權連結票據（Equity-Linked Notes, ELN）間接嵌⼊ covered call 曝險。而且 JEPQ 的股票持倉也並⾮直接複製 QQQ，⽽是由 J.P. Morgan 量化研究團隊主動篩選出⼀個防禦性⼦集合，Beta 值約為 0.83，和 Nasdaq 100 指數本人八成三像而已。

QQQI（NEOS）：
QQQI 的核⼼差異化在於節稅。它持有的原本就是 NDX 指數選擇權（⽽⾮個股或 ETF 選擇權）。在美國稅法下被歸類為 Section 1256 合約，適⽤「60/40 規則」：無論持有期⻑
短，60% 的損益按⻑期資本利得稅率課稅，40% 按短期稅率課稅。對比 JEPQ 的 ELN 配息通常被歸類為普通所得（ordinary income），適⽤最⾼邊際稅率。QQQI 對⾼所得投資⼈⽽⾔，大概節稅 10.2%。

稅務類型 (高所得者)	聯邦稅率 + NIIT (淨投資所得稅 3.8%)
長期資本利得	約 23.8%
短期資本利得 / ordinary income	約 40.8%
差距	約 17 個百分點
Section 1256 混合稅率	約 30.6%
相對全短期節稅	約 10.2 個百分點

除了節稅，QQQI 同時採⽤資本損失收割（Tax-Loss Harvesting）策略，主動管理組合內的未實現損失，進⼀步降低應稅所得。除了賣出買權，也同步買⼊更⾼履約價的買權賺買權價差 (Call Spread Overlay）。也就是小漲時我少賺，但大漲我又賺回來。

可想而知，這麼複雜的策略很吃基金經理人的判斷力，所以他的管理費用也是最高的 0.68%。因為我們是美國的歪果仁，那個什麼稅對我們根本沒差，股息就是一律預扣 30%，所以策略再好也沒有用 (何況結果可能不好)，管理費還要多交，顯然這就不會是台灣人的菜。

GPIQ（⾼盛）：
GPIQ 的設計哲學最為保守，它只對 25% ⾄ 75% 的投資組合名⽬價值賣出 OTM 買權。這個 OTM 賣得愈少，漲幅就愈貼近指數本人。過去⼀年總報酬率約 23.3%，幾乎與 QQQ 的 26% 持平，Beta 值約 1.03。同時，因為做的事情最少，GPIQ 的費⽤率僅 0.29%，是三者中最低的。相對地，它的配息能力也最差。因為我有 QQQ 了，我當然不需要很像 QQQ 的產品。

介紹完畢，現在來看 2026 年 8 ⽉的實戰數據。

複習一下，夏普率 (Sharp ratio) 就是衡量一個投資組合 “在承受1%的風險下，能得到多少報酬？"

三者各自適用的情境如下。請留意這邊的漲跌都是指短期，因為選擇權都有時效性。

股市大漲：GPIQ > QQQI > JEPQ。
股市盤整： QQQI 和 JEPQ > GPIQ。
股市大跌：JEPQ > GPIQ 和 QQQI 。

AI 審查時會囉嗦風險，所以我也要提醒大家投資有賺有賠。我是用 JEPQ 領息，並增加 QQQ 下跌時的抵抗力。如果到時候領得股息太多沒用完，我也會按照 AI 的建議去買更保險、Beta 值更低、Sharp 值更高的商品 (AI 建議是 REITs、債券這種)。Keyword 是 “花不完"，^^

無論選擇哪⼀檔，covered call ETF 存在若⼲共同的結構性⾵險，投資⼈應充分理解：
賣出買權的本質是賣出上漲潛⼒換取當期收益，在強勢多頭市場中，這是⼀種負期望值的交換⸺投資⼈放棄的漲幅往往超過收取的權利⾦。
此外，⾼配息率並不等於⾼「收益」，部分配息可能包含資本返還（Return of Capital），實質上是返還本⾦⽽⾮真實獲利，⻑期可能導致淨資產減損。
JEPQ 的 ELN 結構額外引⼊了交易對⼿信⽤⾵險；QQQI 的主動管理引⼊了策略執⾏⾵險；GPIQ 的部分覆蓋在下跌市場中提供的緩衝最少。

四維時空小註解

本來整理完《量子物理史話 – 上帝擲骰子嗎?》之後，我想換個話題。不過研究了幾個 AI 的題目都是死路，只好請龍蝦幫我打包成短篇，發表在她的部落格。另一方面，這個周末 Youtube 演算法一直狂推相關的影片給我，害我看到新題目又產生了好奇心。

在前一本書中，作者輕描淡寫地提到：時間和另外三維有明顯的區別，它不像 X、Y、Z 軸一樣可正可負，我們可以前進後退、上下左右亂跳，但是時間呢，過去就過去了，想回到上一微秒都不行。這樣的四度 (維) 空間是不是有點牽強呢？

打開這個話題之後，明眼人一定可以發現，時間的單位跟別人就不一樣啊？它是秒，人家都是米。這能互相比較嗎？其實這個問題不難解決，速度 x 時間 = 距離。我們有個愛因斯坦保證的常數 – 光速可以用，秒乘上光速就變成米了。這樣一來 x、y、z、Ct 就是四度空間。

只是這個 Ct 相對有點大，一秒就轉換成了 30 萬公里。使得我們平日常用的長寬高顯得很渺小。即使是鯤和鵬這種不知幾千里的大小 [1]，放在時間軸上都很遜色。只有星球的尺度跟它比較相稱。

搞定單位之後，我們再來看四維時空和四度空間的不同。在赫爾曼·閔考斯基 ( Hermann Minkowski) [2] 之前，基於空間和時間的單位不同，沒有人把他們當作同一類的東西。在牛頓觀點裡：物體只是在空間中隨時間移動。即使是 Minkowski 的學生 – 愛因斯坦在 1905 年的狹義相對論中，也把他們分開處理：

光速對所有慣性系統都固定，同時性是相對的 (相對論名稱的由來)
時間會膨脹
長度會收縮

直觀來說，物體移動時，空間、時間各自被修正，以保證光速不變。數學上，用勞倫斯轉換 [3] 就可以計算出來。

從 Minkowski 的角度看，物體不是 “三維東西在時間中變化"，而是：物體是一條延伸在四維時空中的世界線 (world line)。在同一個時空間隔 S 守恆下，時間和空間可以互相補償。S 是指兩事件之間的變化量，故同一個事件下，S = 0。

s²=x²+y²+z²−c²t²

至於為何 t 的符號跟別人不一樣？我們可以理解為 S = 0 的時候，x、y、z 就是移動量，移動量就是用速度 x 時間表達。

x²+y²+z²−c²t² = 0
x²+y²+z² = c²t²

好，我們接受這樣的設定以後，世界變得有什麼不同呢？對於一個固定的 t，這個公式代表一個球。假如大家忘記小時候學的公式的話，我幫大家複習，這裡的 ct 就是 r。

x²+y²+z² = c²t²

我們把所有的 t 都考慮進來，無論 t 是正是負，這些不同半徑的球疊在一起，它們的邊就成了一個光錐，光錐的圓周就是對應某個 t 的球的切面的圓周。

本圖來自 [2]

t > 0 表示未來， t < 0 表示過去。無論如何，x、y、z 怎麼變都逃不出 ct 的範圍，也就是被光速所限制住。這點也滿足了狹義相對論。

這東西還有啥用呢？

假如在 t=0 時，我站在原點，而在 $x = x_{1}$ 處發生一個事件，由於它位於我的光錐之外。我當下不可能知道它。至於未來我是否能知道，就取決於該事件的訊號，有沒有沿著光速或低於光速的世界線傳到我的世界線上。我們簡化一點，想像 2D 的狀況就好。假設該事件斜率 (CΔt /Δx) 很大，最後在某個 t 進到我的光錐，那我就會察覺這件事。

若雙方的世界線沒有交集，則我永遠不會知道發生了該事件。例如說有個超光速太空船從我的身旁出發，t₁= 0，x₁→ 0，理論上它就不會再進入我的光錐了，只要它不減速，我就永遠跟它斷 (世界) 線失聯。因為 CΔt /Δx 很小的話，太空船幾乎貼著 x 軸走，當然就不會進到光錐。

對於宇宙中的另外一位次光速移動的觀察者來說，他是以 (t₁‘, x₁‘) 和 (t₂‘, x₂‘) 這兩個時間點來看這艘太空船。根據勞倫斯轉換：

Δt′=γ(Δt−vΔx / c²)

其中：

Δt=t₂−t₁
Δx=x₂−x₁
γ = 1/√(1 − v²/c²) or (1 − v²/c²)^-1/2

因為太空船是超光速運動，對於以次光速 v 運動的觀察者，會看到太空船比光速快：

∣Δx∣ > c ∣Δt∣ or
∣Δx∣ /c > ∣Δt∣ — (1)

而勞倫斯轉換的表示式 vΔx / c² = v/c * Δx / c < Δx / c，因為 v/c < 1，v < c — (2)

(1) 和 (2) 是同時成立的，∣Δt∣ 和 vΔx / c² 比∣Δx∣ /c 、Δx / c 小。

我們如果找出一個範圍的 v，

使得 Δt < vΔx / c² < Δx /c，當然也就滿足 Δt − vΔx / c² < 0，

依定義 Δt′= γ(Δt−vΔx / c²)，也就得到 Δt′< 0，因為勞倫斯轉換 γ > 0。

Δt′ < 0 是什麼意思呢？這就所謂的 “先看到太空船抵達、才看到太空船出發。" 的因果悖論。因此在狹義相對論裡，物體不允許超光速，否則可能會產生不可解釋的悖論。

至於這個剛好存在的 v 要滿足什麼條件呢？

從 Δt − vΔx / c² < 0 直接推導，就是 v > Δt *c² / Δx 。

這表示 v 有下限，它也不能太慢。但是當太空船愈快，Δx / Δt 比光速快得愈多，v 的條件就愈容易被滿足，愈容易有悖論。

這裡補充一下定義，光錐裡面的世界叫做類時事件 (timelike event)，比較偏時間因果可以解釋。光錐外面的世界叫做類空事件 (spacelike event)，此處因果關係可能發生混亂。光錐本體上的事件叫做類光事件 (lightlike event)，只有光速可以連結兩個事件。例如太陽發光，地球人八分鐘後才收到。它可以想像成在負 8 分鐘的時間就有個 event 在光錐上，當時間為 0，我們在原點觀察到。

故事就這樣結束了嗎？還差一點點。我們一直在講狹義相對論，萬一有人想知道廣義相對論的 case 呢? (有嗎? 哈！) 基本上上述的邏輯大部分都完整保留。

因果關係仍由光錐決定
我現在看到的是過去的延伸
過去光錐 / 未來光錐仍有意義

不一樣的是，在廣義相對論裡，每一個時空點附近都可以近似看成局部平直，但是光錐會被引力掰彎。尤其在黑洞附近：一旦進入事件視界，所有未來方向都指向更小半徑，光錐會往內傾，被拉向黑洞中心。隨著時間過去，光錐半徑愈來愈小，收斂到一個奇點。只剩一個點還能玩啥呢？哈！完！

[REF]

我讀《量子物理史話》- 7 (完)

量子力學除了帶來困擾，撇開應用科學不談 (量子電腦等等)，還有那些學術貢獻呢？

在我們宇宙中有四個力：引力、電磁力、強相互作用力 (使質子不互斥) 、弱相互作用力 (使粒子衰變)。海因斯坦窮極一生之力想他們融合在同一個理論之下。

在量子電動力學 (QED)、弱電統一理論、量子色電動力學 (QCD) 中，科學家陸續發現：

電磁力來自交換光子 (photon)。
弱交互作用力是交換中間玻色子 (boson)。
強交互作用力是交換介子 (meson)。
- 質子又由三個夸克 (quark) 組成，他們能黏在一起是靠交換膠子 (gluon)。

這些什麼 “子"都是幾個不同偏振的疊加態、有自旋量、質量趨近於 0 [3]。如果沒有量子物理打底，科學家不可能直接進展到這一步。當他們搞定上面三個力，拿了一堆諾貝爾獎之後，我們得到了大統一理論 (Great Unified Theory – GUT) 。除了…不合群的引力，它還是只能服從於廣義相對論。

[弦派] 1968 年，維尼基亞諾 (Gabriel Veneziano) 首先用歐拉 β 函數解釋了一些強相互作用力的問題，結果開創出了一門弦理論。舉例而言，夸克和夸克之間，如果用一根弦連起來，是不是既有波又有粒子。

不過數學上就沒有這麼容易處理，眾多科學家發現：按照這個理論，這個世界要有 26 個維度，而且還要引入超光速的迅子 (tachyon) 等等，當然這個門派的聲勢就被 QCD 給比了下去。

[超弦派] 1971 年，施瓦茨和雷蒙等人，把 26 維簡化為 10 維。引入 “超對稱"，讓每個玻色子 (自旋量是整數) 都對應一個費米子 (自旋量是半整數)。此時不但不需要靠迅子的來自圓其說，還可以用一個自旋量為 2、質量為 0 的 “引力子" 來解釋引力。

而且它還可以解釋不確定性。在這 10 維當中，有 6 維收縮得很緊，剩下三度空間和時間這四維可以觀察。若是從微觀來看，每個什麼 “子" 都是 10 維，其中有 6 維被壓縮，裡面發生擾動時，外面看到的就是不確定性。

經過學術上的競爭，據說我們一共得到了 5 個超弦理論的版本。所幸他們都有共識：這個世界是 10 維。However，又有人說這五個版本都是對的，我們把它們疊加在一起，就變成 11 維，這個叫做 M 理論。M 可能是指 mother，總之眾說紛紜。(p. 356~357)

[超弦/M 理論] 1996 年，施特羅明格 (Strominger) 和瓦法 (Vafa) 用它來解釋黑洞熵。霍金本來是 “弦黑"，在這之後就改變了立場；還寫了一本書《大設計》，說 M 理論是宇宙的終極設計藍圖。(p. 357)

本書就收斂在超弦理論上。

[REF]

本書勘誤，p. 350，一本科全書 –> 一本百科全書。這是霍金打賭黑洞吃人不會吐骨頭的賭注。簡而言之，霍金打賭能力堪比王世堅，故他從來沒贏過，黑洞其實會吐出資訊。
本書勘誤，p. 354，不停地擾 –> 不停地擾動。
順便把一些數據收集如下：

總整理表：玻色子、介子、重子、費米子

類別	粒子	質量，約	自旋	偏振態／自旋態數	是否基本粒子	備註
規範玻色子	光子 $γ$ γ	$0$ 0	$1$ 1	$2$ 2	是	電磁力媒介；無質量，只有兩個橫向偏振
規範玻色子	膠子 $g$ g	$0$ 0	$1$ 1	$2$ 2 螺旋態；另有 $8$ 8 種色態	是	基本強作用媒介；因色禁閉不能單獨觀測
規範玻色子	$W^{+}$ W+、 $W^{-}$ W−	約 $80.4 G e V / c^{2}$ 80.4 GeV/c2	$1$ 1	$3$ 3	是	弱作用帶電媒介；有質量所以有縱向偏振
規範玻色子	$Z^{0}$ Z0	約 $91.2 G e V / c^{2}$ 91.2 GeV/c2	$1$ 1	$3$ 3	是	弱作用中性媒介
純量玻色子	希格斯玻色子 $H$ H	約 $125.1 G e V / c^{2}$ 125.1 GeV/c2	$0$ 0	$1$ 1	是	與粒子質量產生機制有關
介子	$π^{0}$ π0	約 $135 M e V / c^{2}$ 135 MeV/c2	$0$ 0	$1$ 1	否	由夸克–反夸克組成；核力有效交換粒子之一
介子	$π^{\pm}$ π±	約 $139.6 M e V / c^{2}$ 139.6 MeV/c2	$0$ 0	$1$ 1	否	帶電 pion
介子	$ρ$ ρ 介子	約 $775 M e V / c^{2}$ 775 MeV/c2	$1$ 1	$3$ 3	否	向量介子，短程核力模型常見
介子	$K$ K 介子	約 $494$ 494 到 $498 M e V / c^{2}$ 498 MeV/c2	$0$ 0	$1$ 1	否	含奇夸克
重子／費米子	質子 $p$ p	約 $938.3 M e V / c^{2}$ 938.3 MeV/c2	$1 / 2$ 1/2	$2$ 2	否	由 $u u d$ uud 組成；是複合費米子
重子／費米子	中子 $n$ n	約 $939.6 M e V / c^{2}$ 939.6 MeV/c2	$1 / 2$ 1/2	$2$ 2	否	由 $u d d$ udd 組成；是複合費米子
基本費米子／夸克	上夸克 $u$ u	約 $2.2 M e V / c^{2}$ 2.2 MeV/c2	$1 / 2$ 1/2	$2$ 2	是	質子含兩個上夸克；另有 $3$ 3 種色荷
基本費米子／夸克	下夸克 $d$ d	約 $4.7 M e V / c^{2}$ 4.7 MeV/c2	$1 / 2$ 1/2	$2$ 2	是	質子含一個下夸克；另有 $3$ 3 種色荷
基本費米子／夸克	奇夸克 $s$ s	約 $96 M e V / c^{2}$ 96 MeV/c2	$1 / 2$ 1/2	$2$ 2	是	第二輕的下型夸克
基本費米子／夸克	魅夸克 $c$ c	約 $1.27 G e V / c^{2}$ 1.27 GeV/c2	$1 / 2$ 1/2	$2$ 2	是	第二代上型夸克
基本費米子／夸克	底夸克 $b$ b	約 $4.18 G e V / c^{2}$ 4.18 GeV/c2	$1 / 2$ 1/2	$2$ 2	是	第三代下型夸克
基本費米子／夸克	頂夸克 $t$ t	約 $172.8 G e V / c^{2}$ 172.8 GeV/c2	$1 / 2$ 1/2	$2$ 2	是	最重的夸克
基本費米子／輕子	電子 $e^{-}$ e−	約 $0.511 M e V / c^{2}$ 0.511 MeV/c2	$1 / 2$ 1/2	$2$ 2	是	原子外層電子；穩定帶電輕子
基本費米子／輕子	μ 子 $μ^{-}$ μ−	約 $105.7 M e V / c^{2}$ 105.7 MeV/c2	$1 / 2$ 1/2	$2$ 2	是	電子的重版本，不穩定
基本費米子／輕子	τ 子 $τ^{-}$ τ−	約 $1.777 G e V / c^{2}$ 1.777 GeV/c2	$1 / 2$ 1/2	$2$ 2	是	更重的不穩定帶電輕子
基本費米子／輕子	電子微中子 $ν_{e}$ νe	極小，非零；小於 eV 等級	$1 / 2$ 1/2	通常觀測到左手微中子、右手反微中子	是	只參與弱作用與重力
基本費米子／輕子	μ 微中子 $ν_{μ}$ νμ	極小，非零；小於 eV 等級	$1 / 2$ 1/2	通常觀測到左手微中子、右手反微中子	是	有味振盪
基本費米子／輕子	τ 微中子 $ν_{τ}$ ντ	極小，非零；小於 eV 等級	$1 / 2$ 1/2	通常觀測到左手微中子、右手反微中子	是	第三代微中子

標準模型的基本費米子

標準模型中有 12 種基本費米子，不含反粒子：

世代	夸克	輕子
第一代	$u, d$ u,d	$e^{-}, ν_{e}$ e−,νe
第二代	$c, s$ c,s	$μ^{-}, ν_{μ}$ μ−,νμ
第三代	$t, b$ t,b	$τ^{-}, ν_{τ}$ τ−,ντ

如果包含反粒子，則每一種都有對應反粒子，例如：

正電子 $e^{+}$ e+
反上夸克 $\overset{ˉ}{u}$ uˉ
反電子微中子 ${\overset{ˉ}{ν}}_{e}$ νˉe

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#	前	後	差異(後-前)
1	15	13	-2
2	18	15	-3
3	12	12	0
4	13	13	0
5	14	13	-1
6	17	15	-2
7	16	14	-2
8	15	13	-2
9	14	12	-2
10	15	13	-2

#	差異	等級	正/負
1	-2	4.5	負
2	-3	8	負
5	-1	1	負
6	-2	4.5	負
7	-2	4.5	負
8	-2	4.5	負
9	-2	4.5	負
10	-2	4.5	負

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