我讀《量子物理史話》- 3

雖然德布羅意把所有的粒子都賦予波的特性，但波粒之爭還是沒有平息。身為哥本哈根學派一代宗師的波耳，不得不設法幫兩方調停。

[波粒和解] 1924 年 BKS 理論 – 波耳和他的助手克莱默(Kramers) 以及斯雷特 (Slater) 提出這個理論。他們試圖用「虛擬振子」描述原子如何與輻射場互動，想在光的波動圖像與量子躍遷之間取得妥協。不過 BKS 理論只要求能量與動量在統計平均上守恆，而不要求每一次微觀事件都守恆，這點很快被實驗否定。

索末菲 (A.Sommerfeld) 的學生 – 海森堡 (Werner Heisenberg) 原本也想從虛振子的角度切入研究，但是他發現在數學上走不通之後，決定自己來打造一套理論。既然能階是一級一級的，海森堡就給它建個表，寫上從哪一階到另一階各自需要多少能量。於是，他得到了一個二維的對照表，記錄不同量子狀態之間可觀測躍遷量。

按照這個表，原子從某個能階跳到另一個能階時，對應的輻射頻率與強度可以被記錄下來。如果連跳兩次呢？那就把這個表乘兩次。乘積的算法大家現在都會了，但海森堡當時並不熟悉矩陣理論，但他的計算規則其實正是矩陣乘法。

按照這個計算方式，假如電子從能階 A 跳到能階 D，然後又從能階 D 跳到能階 B，這是一種可能性。從能階 A 跳到能階 C，然後又從能階 C 跳到能階 B 呢？這又是一種可能。矩陣乘法會對所有可能的中間能階求和，因此自然包含了不同中間狀態的貢獻。矩陣元素的大小與躍遷振幅、譜線強度有關，而不是直接表示電子在某個位置的機率。

不過問題來了，跳的順序竟然會影響計算的結果。海森堡不知道如何解釋 IxII ≠IIxI，於去拿著論文草稿去找老師波恩討論。吃瓜群眾這時可能已經先舉手說：啊就矩陣乘法沒有交換性啊？其實數學歸數學，物理的解釋才是重要。波恩知道這是矩陣運算，最後找到助教約爾當 (Pascual Jordan) 提供數學基礎，兩人合作之下，算出了

  • p x q ≠ q x p
  • pq – qp = (h/2πi) I – 其中 h 是普朗克常數，i 是虛數，I 是單位矩陣 [3]。

為什麼有虛數？這是因為波常常會寫成 eikx 的形式，所以出現 i 會是正常現象 [4]。

[量子矩陣派] 1925年，波恩和約爾當合寫了論文《論量子力學》(Zur Quantenmechanik)。

等等！這不是海森堡先發現的嗎？雖然他不認識矩陣，但他是原創啊。還好這三個人不內捲。同年底三個人共同發表了《論量子力學 II》。

[量子能量派] 1926 年，薛丁格 (Schrödinger，沒聽過薛丁格也聽說過他的貓) 發表論文，用他的理論解釋氫原子光譜分析的結果，複製出和波耳模型一樣的答案。重點是他有數學公式。

薛丁格最初是從德布羅意波出發，然後用哈密頓-雅可比方程式 [1] 去描述波。其中，哈密頓在描述系統能量和運動規則，雅可比在描述物體每一秒的位置和速度是多少？兩個合在一起，是在找「從起點到某個位置，最符合自然規律的走法」。

薛丁格把原本的系統能量換成波的總能量，這些波函數必須滿足特定邊界條件，例如不能發散、要單值、要連續，因此只允許某些穩定的波形 (eigen function) 存在 ，對應的本徵 (或說表徵) 值 (eigen value) 就是可測得的物理量，例如能量。

這些允許的波形對應到離散的能量，也符合量子一份一分的精神。公式理所當然地就會有普郎克常數在裡面。這就得到廣義的薛丁格方程式 。

它已經隱藏了動能和位能的變數。完整展開後的公式，看了頭會更大 [5]。

按照書上的說法 (p. 145)，薛丁格和海森堡互相討厭。海森堡說薛丁格的理論是 Mist (德文版的 bullshit)，薛丁格在論文中說海森堡的理論令人沮喪。雖然兩派一開始互看不順眼，但薛丁格很快證明兩種形式其實等價。我們以前做矩陣運算不也求過 eigen value 嗎？感覺確實有點相關。

此外，和海森堡一起寫論文的老師波恩，就此跑到薛丁格的陣營去了。此舉令海森堡有些難過。不過波恩老師也有自己的看法。薛丁格的波那麼多條，要抓均線還是月線呢？還是每一條都有可能，跟擲骰子一樣？

[量子機率派] 1926 年 7 月，波恩將骰子帶進物理界提出他對波函數的機率詮釋：波函數本身不是物質波的實體密度，而是機率振幅；其絕對值平方代表找到粒子的機率密度。因為這個想法太勁爆了，以至於他在 28 年後才得到諾貝獎，他的學生們早就拿到了。

題外話，海森堡出名的不是他的矩陣，而是測不準原理。p x q ≠ q x p，不就是先固定 p，得到的 q，不等於先固定 q，所得到的 p 嗎？他經過一番計算，得到 p、q 測量誤差的關係式，這是不是跟 pq – qp = (h/2πi) I 長得就像一家人啊？

△p×△q ≥ h/4π [7]

再回到一開始想幫大家講和的大家長波耳。既然 BKS 理論不行了，波耳說我們承認量子都是波、又都是粒子行不行呢？量子在不同實驗安排中，它會顯現粒子性或波動性。這兩種描述彼此不能同時完整呈現，卻又都是理解量子現象不可或缺的部分。這就是所謂的“互補原理”(Complementary Principle)。

波耳的互補原理、波恩的機率解釋、和海森堡的不確定性，三者共同構成了量子論的哥本哈根解釋，學者認同他們的理念就可以稱為哥本哈根學派。

[REF]

  1. 哈密頓-雅可比方程式
  2. 薛丁格方程式
  3. p. 134, GPT 5.5 說書上的符號錯了，這局我不挺 AI.
  4. AI 解釋得很囉唆，我覺得簡單講就好。

5. AI 寫給好學的你。

  • 6. 勘誤 : 本書 p. 163 “做出了轟動一時的道歉"，"動"字漏印了。
  • 7. 勘誤：本書 p. 173，符號應為 ≥，本書誤植為 >。
  • 8. 勘誤：本書 p. 128， 第一個表。巴士 I 號線重複兩次，第二次應為巴士 II 號線。

我讀《量子物理史話》- 2

19 世紀末，物理界一切都很明朗了，只剩下兩朵烏雲。

第一朵就是以太與電磁理論的問題。最後引出了狹義相對論。

第二朵是黑體輻射的理論和實驗數據不符。最後引出了量子力學。

黑體是理想化物體，能完全吸收入射電磁波，不反射也不透射。更重要的是，當它處於某個溫度時，會發出只由溫度決定的熱輻射。問題在於：這種輻射在不同波長上的能量分佈，古典理論無法正確解釋。

波長短的時候，用維恩公式比較好：λ 是波長，T 是絕對溫度。其他都是常數。

波長長的時候， 用 Rayleigh–Jeans 公式 (經典電磁 + 熱力學) 比較好。如果波長極短，能量會趨近無限大，人稱紫外災難。

對於傳統亞洲人來說，最好的方法就是把兩個都背起來。但馬克思 · 普朗克 (Max Carl Ernst Ludwig Planck）或是周星馳就不會這麼做。食神把它做成撒尿牛丸。

1900 年，普朗克把一個公式同時近似兩個公式。C 是光速。

雖然他不知道怎麼解釋這個拼接物，但他給出了最重要的結論：“必須假定，能量在發射和吸收的時候，不是連續不斷，而是分成一份一份的。”

普朗克把它稱作“能量子”（Energieelement），但随後很快，在另一篇論文
裡，他就改稱為“量子”（Elementarquantum），英語就是 quantum。一份的能量大小就是頻率乘上普朗克常數 h = 6.626×10-34 焦耳*秒。

前言介紹完了，現在進入主題。

[光電效應] 光作為一種波動，它的強度代表了它的能量；增強光的強度，理應能打出能量更高的電子。但實驗表明，增加光的強度只能打出數量更多的電子，卻不能增加電子的能量。若要打出能量更高的電子，就必須提高照射光線的頻率 (p. 32) 。而且每種材料都存在截止頻率；若入射光頻率低於此值，再強的光也無法打出電子。

頻率不對就不來電？美少女知道，愛因斯坦也知道。他發現 E = hν 的話，用頻率 ν 和普朗克常數 h，就能計算出這一份的能量大小。而光子具有動量 p=h/λ，在之後的康普頓散射等現象中得到明確支持。

[粒派量子]1905 年，愛因斯坦發表論文，把它命名為 “光量子”（light quanta）。1926 年，美國物理學家劉易斯（G.N.Lewis）把它換成了今天常用的名詞，叫做 “光子”（photon）。

時間回到 1885 年，瑞士一位數學教師巴爾末（Johann Balmer） 發現氫原子的光譜線分別是 656，484，434，410，397，388，383，380……奈米，他導出一個公式 1 / λ ＝R（1/22 – 1/n2）。

其中的 R 是一個常數，稱為里德伯（Rydberg）常數，n 是大於 2 的正整數。我想這位老兄考門薩智力測驗應該沒問題。

[粒派量子] 1913 年，尼爾斯·波耳（Niels Bohr）用巴爾末公式解釋了氫原子光譜為何是不連續的。n = 2、3、4…這不就是量子嗎？ (AI 說太跳了) 因為光譜線只出現在某些離散波長，暗示原子內部的能量交換不是連續的。波耳進一步將這種離散性解釋為電子只能存在於某些特定能階。

當然，他不只是做了這件事，他的理論解釋了前輩恩内斯特.拉塞福 (Ernest Rutherford) 的原子模型。不然電子一直繞原子核轉，加速度運動會輻射電磁波，能量用光後軌道應該塌縮，那所有的元素都不會存在了。有個能階，就有台階可以下。

[粒派量子] 1923 年，康普頓 (A.H.Compton) 發現 X 射線被自由電子散射時，散射出來的 X 射線分成兩個部分，一部分和原來的入射射線波長相同，而另一部分的波長卻比原來的射線要長。

如果把光子當成粒子，不僅帶有能量，還具有動量，當它與電子相撞時，便將自己的一部分能量轉移給電子。這樣一來，光子的能量下降，根據公式 E = hν，E 下降導致 ν 下降，頻率變小，也就是波長變大。這解釋完美。

第三次波粒戰爭再起，波方以馬克斯威爾方程式守住陣地，但無力反攻。反倒是粒派從光子打到電子家裡來。

[波派量子] 1923 年，路易斯•維克托•皮雷•雷蒙•德•布羅意王子（Prince Louis Victor Pierre Raymond de Broglie）出場。他認為粒子如果也有波動性，那麼波峰移動時會有個相速度 vphase，我們也就可以定義出它的頻率和波長。

vphase = νλ

其中 E = hν (光電效應)，p = h / λ (實驗值)，帶進去把 h 消掉

vphase = E / p

先忽略掉相對論 γ 中勞侖茲因子 (Lorentz factor) 要怎麼算，設它為 1 也可以。因為 E = γ mc2 (質能轉換) 和 P = γ mv0 (傳統力學) ，同時計算就把它消掉了。

vphase = γmc2 / γmv0 ，把 γ 和質量都消掉

vphase = c2 / v0

OK！假如粒子以 v0 的速度移動，它會有一個相位速度 c2 / v0 的波跟著它。這個波他命名為相波 (phase wave) 或是人稱 “德布羅意波"。值得說一嘴的是，它比光速快。不過它是相速度，沒有違反相對論。

挑戰者問德布羅意說，假如電子也是個波，你能證明它會衍射嗎？德布羅意預言這會被證明，結果真的不用自己動手。

[波派量子]1925 年 4 月，美國戴維遜 (C.J.Davisson）和革末（L. H. Germer）在電子束轟擊鎳晶體的實驗中，觀察到電子繞射現象，證實了電子的波動性。1927 年，G.P. 湯姆遜也以電子穿透薄膜的繞射實驗支持了這件事。

好的，粒子都有波的特性了。我們都是一家人，還有什麼好戰的呢？ 問題出在量子還沒有解釋所有的事情。例如，在弱磁場下，有時譜線會分裂，被稱作 “反常賽曼效應"。半整數個量子要怎麼解釋？更別說此時在科學家在兩個電子的氦原子上都沒能找出規律。

後面要看的，就是各家大神怎麼解釋波粒二象性了——不只是光子，也不只是電子。

我讀《量子物理史話》- 1

在這股市動蕩之際，是不是不予理會，更顯得指數投資的優越性呢？哈！這幾天又讀了一本量子力學的科普書，因為它描述的派別很多，不限於一門一派。而且始終用門派對決的觀點來敘事，像是看武俠小說一樣，我特別地喜歡這樣風格，所以又入坑了。

本書作者曹天元(Capo)，1981 年生，其它沒有過多的介紹，大概是因為他是大陸人的關係。這邊主題是科學，我們就放下政治和宗教了。立刻開始我們的波粒第一戰。

[波派] 格里馬第（Francesco Maria Grimaldi）發現光通過狹縫或障礙物邊緣時的偏折現象，並提出「繞射」概念。著作在 1665 年死後出版，成為波動說的重要證據。

1664 年，波義耳 (Robert Boyle) 出版《關於顏色的實驗與思考》，提出顏色是光照在物體上反射出來的。

[波派] 胡克 (Robert Hooke)，他曾是波義耳的助手。 1660 年，他根據觀察格里馬第的實驗，認為光是一種快速的脈衝。1665 年在《顯微術》（Micrographia）一書中明确地支持波動說。

[粒派] 1666 年，牛頓發現了光的色散現象。因為光走直線，他認為光是粒子。

1672 年，牛頓投論文到皇家學會，文章解釋了光的色散和復合 (回白光)。審查論文的胡克認為光的復合是抄他 1665 年在《顯微術》的發現，粒子說則是錯誤的。牛頓大怒撤回論文，視胡克為終身仇家，從此成為堅定的大粒派。

[波派] 1690 年，惠更斯 (Huygens) 在《光論》（《Traitė de la Lumiere》）提出光是一種波動。並用波前思想解釋反射與折射。

[粒派] 1704 年，牛頓發表了《光學》，以粒子為基礎加上新的假說，解釋了反射、折射，和先前各種波派看到的現象。加上有了國會議員和皇家學會會長的身分加持，波派暫時被打垮。至於牛頓為何會得到這些身分呢？當然是因為他在力學上的成就，連帶影響到了 “粒"學的說服力。

其中，牛頓解釋繞射是因為以太 (Aether) 的關係。以太是古希臘時期，亞里斯多德認為的第五元素。雖然現在已經認為它不存在。但是這個名字恰好被用來命名 Ethernet，倒是因而變得永垂不朽了。

波粒第二戰當然是靠波派的反攻。

[波派]1801~1803年，托馬斯·楊 (Thomas Young) 做出雙縫干涉實驗，說明光會干涉，這在當時被視為光不是普通牛頓式粒子的有力證據。不過牛頓權威仍在，許多人依然相信粒子說。

[粒派，誤助波派]馬呂斯 (Etienne Louis Malus) 在 1809 年發現的偏振現象。偏振一開始讓波動說很尷尬，因為當時許多人 (例如胡克) 把波想成類似聲波的縱波；若光只是沿傳播方向振動的縱波，就很難解釋為何光會有特定的振動取向。馬呂斯本人傾向粒子說，因此認為偏振對波動說不利。沒想到後來這反而成為光是橫波的重要線索。

1819 年，法國辦了一個光衍射的論文比賽，評審都是粒派大老，像是比奥（J.B.Biot）、拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace）和泊松（S.D.Poisson） [1]。大家學數學時少不了被他們荼毒。

[波派] 菲涅耳 (Augustin Fresnel) 投稿論文說，如果光是橫波，那偏振就不是問題啦！這是個創新的觀點。

評審帕松認為，如果菲涅耳說的橫波是真的，那麼一個圓盤遮蔽光線時，陰影的中心應該會出現亮點，這個太不直覺了，所以應該是錯的。泊松的同事阿拉果 (Franois Arago) 堅持做個實驗看看，結果陰影下真的有亮點！菲涅耳因此得到論文大獎 (Grand Prix) !

題外話，泊松賺到了人稱那個亮點是 “泊松亮斑" 的虛名，有時它也被稱作是 “阿拉果亮斑"，兩個人都有得分。馬呂斯發現的偏振後來成為偏光眼鏡技術的理論基礎。

書上還說阿拉果其實是那篇論文的共同作者，但是橫波這部分的假說太過前衛，他身為知名人物沒有勇氣署名，於是把 “物理光学之父" 的稱號平白送給了當年 31 歲的菲涅耳。

[波派，補刀粒派]1850 年，傅科（Foucault) 測量出水中的光速比空氣中慢。按照牛頓的假設，水的折射率比較高，光粒被水拉扯、吸引後應該要加速。就如同光通過三稜鏡一樣，不同顏色的光粒因為質量不同，所以被吸引的速度也不同，被吸引得愈厲害，折射角就愈大。

畢竟老牛有錯在先，人走書還在，此時已然百口莫辯。這個原本應該對粒派有力的實驗，反而打得自家基礎動搖。按照牛頓力學，就算光是粒子，它通過水分子時產生阻力而變慢，完全 “說" 得過去。不過既然老牛以前講錯，現在等於拿刀給對手砍了。

BTW，以現代觀點來看，光在介質中變慢並不是簡單因為光子像小球一樣受到「阻力」，而是電磁波與介質中的電子相互作用，使宏觀傳播速度降低。因此現代的「光子」概念並不等同於牛頓式小粒子。(AI 審稿要我補這句，以免教壞小孩。)

波派在這裡還有個小問題，那就是光沒有介質，怎麼能傳遞波動？所以 “以太" 假說還是得拿出來講故事，以太必須又稀疏、又堅硬、又透明、又絕對靜止，既不影響星球運行、太陽光還能波動到地球上來，這個假說有點太假。不過牛頓自己也引用過以太，這應該算是 “波粒式" 的共業了。

[波派，電磁波認親]1856，1861 和 1865 年，馬克斯威爾 (Maxwell) 發表了三篇關於电磁理論的論文，預言光也是一種電磁波。

[波派，寫進族譜]1887 年，赫茲 (Hertz) 實驗證明光是電磁波。

總之，古典牛頓式粒派至此 “人" 設崩壞。第二戰波派勝出。

[勘誤]

  1. 本書 p.26, Poisson typo 為 Poission.

丹麥之旅 – 2

2026/7/3（五）

到了丹麥，當然要看小美人魚。今天下雨，遊客很少。

接下來去吉菲昂噴泉(Gefionspringvandet)，這個銅雕很厲害。四隻牛拉車的張力十足。

接下來是簡單的城市之旅。丹麥比起前面的三個國家，多了很多歷史建築。首先我們停車在腓特列教堂 （Marmorkirken）附近。

由下圖左上角的 Frederilsgade 到走阿馬林堡宮殿廣場 (amalienborg slotsplads)。Gede 就是台語的"街道"。

其中，克里斯丁九世 (Christian IX)有個人專屬雕像。因為他到處聯姻，有歐洲岳父的稱號。

宮殿當然少不了衛兵，但是女衛兵很罕見。

接著我們從左下方黃宮那個方向，穿過大使館林立的 Amaliegade 離開。走到新港 (Nyhavn)。

新港就是哥本哈根最好拍的景點。有人去搭一小時的渡輪 (票價 207 DKK，差不多一千台幣有找)，有人徒步拍照。

我家是散步組，所以可以抽空先吃午餐，但老婆挑食又說不餓，我只好買一支 70 DKK 的熱狗，然後被老婆吃掉一半。

中午大家會合後，領隊再帶我們去看旁邊的丹麥歌劇院，以及旁邊的安徒生像。

接下來我們又是下午的自由活動。大部份的時間都花在 Rains 旗艦店，以及解決退稅碼的烏龍事件。簡單來說，結帳完畢，店員設定好畫面，我們填上 email 和電話後，會出現一個QR code.

雖然我填老婆的 email，但是我的手機不是拍照，而是掃 QR code，所以退稅簡碼就被我的 email 綁架了。老婆聽人說，退稅不當場搞定，回去會扯不清。所以她叫我幫她裝 app，用她的 email 為帳號，卻怎麼也吃不進那個退稅碼。

店員很熱心但是解決不了，領隊很無奈，說這個他沒有特別厲害。我打開我的手機，結果我的帳號可以正常操作，只是要等海關蓋章過有貼紙的收據，用 app 拍照上傳才能結案。老婆又問過 chatgpt 也是這樣講，才放心離開 Rains. （我感謝AI）

剩下的時間我們還是到處拍照。下圖是克里斯蒂安堡宮 (Christiansborg Slot)。

雨停了，但風超級大，Stork Fountain 噴水池的水都歪了。

後來走到哥本哈根大學前面，忽然想起波耳和哥本哈根學派。他們對量子物理貢獻卓著，原來就是在這塊土地上想出來的。

晚餐我們就在最熱鬧的斯楚格街 (Strøget) 的 Buka 吃斯堪地風味餐。他們的豬肉煮得不錯，但是沒甜點令人不習慣。

外面有巴勒斯坦人抗議以色列，我們好像一早就在各處遇到他們了，天祐巴勒斯坦人。

明天凌晨三點就要出發到機場，伊斯坦堡機場一年路過四次，已經沒啥可以寫了，除非博物館有開門。讓我們拭目以待。

[後記]

這次在丹麥的機場有個發現。通常我們在歐洲，大家都說廁所水龍頭的冷水可以生飲，但是熱水不能喝。這次老婆在丹麥機場裝水的時候，發現水是溫的，所以她很疑惑能不能喝？後來換了一件廁所 – 感覺 CHP 機場真是十步之內就有一間廁所，原來這裡有差別。右邊有牌子的才是飲用水 (冷的)。

丹麥之旅 – 1

2026/7/2 (三)

這兩次搭船都是早上 10 點靠岸。吃完早餐，很快就要準備下船了。由於大家都想早點上岸，以至於在 5 樓樓梯口塞了滿久的時間。Silja 號則是在 7樓下船，客人可以在先以商店街緩充，感覺比較不窘迫。

踏上丹麥國土後，幣別成了丹麥克朗 DKK。除了芬蘭用歐元，瑞典克朗 SEK 大概是 3.3 台幣，挪威克朗 NOK 是 3.24 台幣，但 DKK 是 4.85 台幣。本來習慣看到售價 x 3，猛一看丹麥的東西還以為它便宜，其實差不多要 x 5。

丹麥的第一個景點是旋轉塔。它位在一個山訓場地裡面。像我們這種觀光客只是登塔拍照留念。其實他可以當渡假村主蒙古包，或是玩山訓器材。

因為這兩天丹麥下雨，塔上風又大，我的雨傘開花好幾次了。我覺得回國時把傘留在北海邊牧羊。

午餐在園區自理。說起來還滿顯窮的，這樣就要 160 DKK. 不過確實它的漢堡比台灣的華堡還大，用料也不錯。

下午的行程表上說要去折扣村，其實就是去 outlet。它的建築結構就是每家店佔一間房，沒有公共走道或是休憩區。如果風和日麗，那麼在每間店進進出出也不成問題。但是雨下得不小，濕淋淋地在每家店開傘收傘，感覺有點淒涼。事後發現，果然一張照片都沒拍。

於是我們直接跑去隔壁的 fotex 大賣場。他們的沙拉包裝得像賣花一樣，還冰起來。晚上去另外一家比較簡陋的 Netto 超市就不冰照樣賣。

晚上我們還是吃中餐。團友覺得偏鹹，我覺得還行。可能是中午薯條還更鹹都吃慣了。所以我要額外稱讚老闆在我筷子被碰掉時馬上補我一雙。

哥本哈根有很多漂亮的房子。明天我們才正式做市區觀光加自由活動，希望天氣好一點。附上車站和電影院搶拍的快照。

附上團友拍的新房子。

BTW, 以前我們老師教數學的時候，把數字 0 加上斜槓 (Ø)，說是可以和字母 o 做區別。想不到，挪威和丹麥的 0 加上斜槓 (Ø)，就是字母 o，這下更難分辨了。