我讀《量子物理史話》- 7 (完)

量子力學除了帶來困擾，撇開應用科學不談 (量子電腦等等)，還有那些學術貢獻呢？

在我們宇宙中有四個力：引力、電磁力、強相互作用力 (使質子不互斥) 、弱相互作用力 (使粒子衰變)。海因斯坦窮極一生之力想他們融合在同一個理論之下。

在量子電動力學 (QED)、弱電統一理論、量子色電動力學 (QCD) 中，科學家陸續發現：

  • 電磁力來自交換光子 (photon)。
  • 弱交互作用力是交換中間玻色子 (boson)。
  • 強交互作用力是交換介子 (meson)。
    • 質子又由三個夸克 (quark) 組成，他們能黏在一起是靠交換膠子 (gluon)。

這些什麼 “子"都是幾個不同偏振的疊加態、有自旋量、質量趨近於 0 [3]。如果沒有量子物理打底，科學家不可能直接進展到這一步。當他們搞定上面三個力，拿了一堆諾貝爾獎之後，我們得到了大統一理論 (Great Unified Theory – GUT) 。除了…不合群的引力，它還是只能服從於廣義相對論。

[弦派] 1968 年，維尼基亞諾 (Gabriel Veneziano) 首先用歐拉 β 函數解釋了一些強相互作用力的問題，結果開創出了一門弦理論。舉例而言，夸克和夸克之間，如果用一根弦連起來，是不是既有波又有粒子。

不過數學上就沒有這麼容易處理，眾多科學家發現：按照這個理論，這個世界要有 26 個維度，而且還要引入超光速的迅子 (tachyon) 等等，當然這個門派的聲勢就被 QCD 給比了下去。

[超弦派] 1971 年，施瓦茨和雷蒙等人，把 26 維簡化為 10 維。引入 “超對稱"，讓每個玻色子 (自旋量是整數) 都對應一個費米子 (自旋量是半整數)。此時不但不需要靠迅子的來自圓其說，還可以用一個自旋量為 2、質量為 0 的 “引力子" 來解釋引力。

而且它還可以解釋不確定性。在這 10 維當中，有 6 維收縮得很緊，剩下三度空間和時間這四維可以觀察。若是從微觀來看，每個什麼 “子" 都是 10 維，其中有 6 維被壓縮，裡面發生擾動時，外面看到的就是不確定性。

經過學術上的競爭，據說我們一共得到了 5 個超弦理論的版本。所幸他們都有共識 ：這個世界是 10 維。However，又有人說這五個版本都是對的，我們把它們疊加在一起，就變成 11 維，這個叫做 M 理論。M 可能是指 mother，總之眾說紛紜。(p. 356~357)

[超弦/M 理論] 1996 年，施特羅明格 (Strominger) 和瓦法 (Vafa) 用它來解釋黑洞熵。霍金本來是 “弦黑"，在這之後就改變了立場；還寫了一本書《大設計》，說 M 理論是宇宙的終極設計藍圖。(p. 357)

本書就收斂在超弦理論上。

[REF]

  1. 本書勘誤，p. 350，一本科全書 –> 一本百科全書。這是霍金打賭黑洞吃人不會吐骨頭的賭注。簡而言之，霍金打賭能力堪比王世堅，故他從來沒贏過，黑洞其實會吐出資訊。
  2. 本書勘誤，p. 354，不停地擾 –> 不停地擾動。
  3. 順便把一些數據收集如下：

總整理表：玻色子、介子、重子、費米子

類別粒子質量，約自旋偏振態／自旋態數是否基本粒子備註
規範玻色子光子 γγ001122是電磁力媒介；無質量，只有兩個橫向偏振
規範玻色子膠子 gg001122 螺旋態；另有 88 種色態是基本強作用媒介；因色禁閉不能單獨觀測
規範玻色子W+W+、W−W−約 80.4 GeV/c280.4 GeV/c21133是弱作用帶電媒介；有質量所以有縱向偏振
規範玻色子Z0Z0約 91.2 GeV/c291.2 GeV/c21133是弱作用中性媒介
純量玻色子希格斯玻色子 HH約 125.1 GeV/c2125.1 GeV/c20011是與粒子質量產生機制有關
介子π0π0約 135 MeV/c2135 MeV/c20011否由夸克–反夸克組成；核力有效交換粒子之一
介子π±π±約 139.6 MeV/c2139.6 MeV/c20011否帶電 pion
介子ρρ 介子約 775 MeV/c2775 MeV/c21133否向量介子，短程核力模型常見
介子KK 介子約 494494 到 498 MeV/c2498 MeV/c20011否含奇夸克
重子／費米子質子 pp約 938.3 MeV/c2938.3 MeV/c21/21/222否由 uuduud 組成；是複合費米子
重子／費米子中子 nn約 939.6 MeV/c2939.6 MeV/c21/21/222否由 uddudd 組成；是複合費米子
基本費米子／夸克上夸克 uu約 2.2 MeV/c22.2 MeV/c21/21/222是質子含兩個上夸克；另有 33 種色荷
基本費米子／夸克下夸克 dd約 4.7 MeV/c24.7 MeV/c21/21/222是質子含一個下夸克；另有 33 種色荷
基本費米子／夸克奇夸克 ss約 96 MeV/c296 MeV/c21/21/222是第二輕的下型夸克
基本費米子／夸克魅夸克 cc約 1.27 GeV/c21.27 GeV/c21/21/222是第二代上型夸克
基本費米子／夸克底夸克 bb約 4.18 GeV/c24.18 GeV/c21/21/222是第三代下型夸克
基本費米子／夸克頂夸克 tt約 172.8 GeV/c2172.8 GeV/c21/21/222是最重的夸克
基本費米子／輕子電子 e−e−約 0.511 MeV/c20.511 MeV/c21/21/222是原子外層電子；穩定帶電輕子
基本費米子／輕子μ 子 μ−μ−約 105.7 MeV/c2105.7 MeV/c21/21/222是電子的重版本，不穩定
基本費米子／輕子τ 子 τ−τ−約 1.777 GeV/c21.777 GeV/c21/21/222是更重的不穩定帶電輕子
基本費米子／輕子電子微中子 νeνe​極小，非零；小於 eV 等級1/21/2通常觀測到左手微中子、右手反微中子是只參與弱作用與重力
基本費米子／輕子μ 微中子 νμνμ​極小，非零；小於 eV 等級1/21/2通常觀測到左手微中子、右手反微中子是有味振盪
基本費米子／輕子τ 微中子 ντντ​極小，非零；小於 eV 等級1/21/2通常觀測到左手微中子、右手反微中子是第三代微中子

標準模型的基本費米子

標準模型中有 12 種基本費米子，不含反粒子：

世代夸克輕子
第一代u,du,de−,νee−,νe​
第二代c,sc,sμ−,νμμ−,νμ​
第三代t,bt,bτ−,νττ−,ντ​

如果包含反粒子，則每一種都有對應反粒子，例如：

  • 正電子 e+e+
  • 反上夸克 uˉuˉ
  • 反電子微中子 νˉeνˉe​

我讀《量子物理史話》- 6

抱歉! 我偷懶了幾天，或許大家以為我讀書心得已經寫完了？主要是這個周末都在追劇，Thread 上推薦了一個 AI 短劇 – “萬妖圖錄傳"，我火速將它追完，把整理 blog 的時間用掉了。觀影心得就是：本劇似於 “我獨自升級" 的 “大唐" 版。反正 Netflix 把 “我" 劇斷尾了，看這片也是等效。總之，主角必勝。

言歸正傳。上次講到沒有局域的隱變量，所以量子物理還不是決定論。通常人類不喜歡這種沒有因果的東西，所以會想要討個說法。

[系綜派] 1935~1936 年左右，“系綜解釋” (the ensemble interpretation) 派說，只有系統整體是有意義的，不要去管一個光子怎麼跟自己干涉那種小事，解釋不了也不用解釋。這派學者奉愛因斯坦為老祖。

因為他說過 “任何試圖把量子論的描述看成是對於 ‘單一系統’的完備描述的做法，都會使它成為極不自然的理論解釋。但只要接受這樣的理解方式,也即(量子論的)描述只能針對系統的‘全集’,而非單一個體,上述的困難就馬上不存在了。 」(p. 311)

[GRW 派] 1986 年 7 月，Ghirardi、Rimini 和 Weber，他們的主要假定是，任何系統，不管是微觀還是宏觀的，都不可能在嚴格的意義上孤立，也就是和外界毫不相干。它們總是和環境發生著種種交流，因此可以用非線性的能量密度方程式來描述。

根據他們的理論，平均 1016 秒，也就是幾億年，偶爾會有一個粒子就自己坍縮了，這叫做 “自發性的定域過程" (spontaneous localization)。對於一隻貓來說，就算不肥也有 1027 個粒子，所以一秒鐘就會發生好多次微小地、破壞能量守恆的坍縮。如此一來，當我們觀察一個粒子，粒子就和我們是同一個系統，人的粒子那麼多，1 + ∞ = ∞，所以粒子就坍了。

但是另一方面，你也就不會是個完全體了，雖然你大部分在上班上課，小部分的你會以高斯分布散落在家裡到學校、辦公室的路上，更細碎的你則是散落在整個宇宙。無怪乎有人不喜歡這種非線性，如：提出 GHZ 檢測的那個 Z – Zeilinger。(p. 320)

[Q&A] 既然量子論是正確的，那麼疊加性必然是一種普遍現象。可是，為什麼火星有一條確定的軌道，而不是從軌道上向外散開呢?

[唯心派] 因為你看了它，它就坍縮了。

[GRW 派] 因為整個宇宙的粒子超級多，粒子多都會坍縮。

[MWI 派] 一念一世界，世界一直在分裂。只有一本歷史，剛好你在這個世界。

[MH 派] [DH 派] 1984 年，羅伯特・格里菲斯（Robert Griffiths）提出了 “一致歷史"（consistent histories）的想法。後來蓋爾曼（Gell-Mann）與哈特爾（Hartle）又把它發展成更常被稱作「退相干歷史」（DH = decoherent histories）的框架。

簡單地說，他們認為在一個世界有多個可能的歷史 (MH = Many Histories)，我們看到的是最後粗粒（coarse-grained history）的宏觀版本。例如："火星大致沿著某條已知的軌道運行"，許多細節都被合併、平均掉了。

相對地，所謂 “精粒歷史"（fine-grained history），是對系統在一連串時刻上的狀態做非常細的指定。以火星為例，可以細到描述它在不同時刻的可能位置、動量，甚至更細微的自由度。

關鍵在於：在精細描述下，不同歷史之間原則上會有量子干涉；但對火星這樣的宏觀系統來說，它與環境——光子、熱輻射、周遭物質——無時無刻不在交互作用。這些作用會迅速抹去不同宏觀歷史之間可觀測的相位關係，於是那些粗粒歷史彼此近似不再相干。這就是所謂的 “退相干" 。

當然，這套說法也不是沒有問題。在眾多可能的粗粒化方式裡，究竟哪一組歷史才是有物理意義的呢？比方說我們可以用軌道座標來描述火星的位置，也可以用火星的視角來描述。在傳統物理中，我們兩個問題都可以問，甚至互相反推。但是在一致歷史裡，第一本歷史可完全沒有記載第二本歷史的任何資訊，它們都合理但不能互相解釋。

[MMI 派] 這派認為世界沒有分裂、歷史也沒有分裂、是心分裂了 (Many Minds Interpretation)。 呃…你知道什麼樣的人都有。

那麼看了這麼多不同的說法，量子物理用在哪裡呢？對，我們終於快要講到了。

[後記] “眼尖" (?) 的網友應該發現了，本書只給費曼和路徑積分很少的篇幅。基本上路徑積分 – “粒子從 A 到 B 的量子振幅，要把所有可能路徑的振幅都加起來。" 和薛丁格、海森堡等價。

我讀《量子物理史話》- 5

量子力學之所以不能像傳統物理一樣用明確的公式解決因果關係，有人認為一定是某個變數沒有被發現，一般稱之為隱變數 (hidden variable，或稱隱變量)。那隱變數是否存在呢？

[存在派] 1927 年，德布羅意波提出相位波之後，又提出一個新的導波理論 ( pilot-wave theory)。它的核心理論是 “粒子始終有確定位置，只是它的運動被一個波函數導引。"只是我們不知道它的精確初始條件，所以看起來呈現機率。這就非常符合「隱變數」的精神。

[否定派] 1932 年，馮諾曼 (John von Neumann，就是計算機結構那位) 證明隱變數不能解釋量子論的隨機性。他一共提了五個假設，數十年間都沒有人指出其中顯而易見的 bug。

[存在派] 1952 年，大衛·波姆 (David Bohm，就是改寫 EPR 為自旋版本的那位) 指出馮諾曼第五個假設是錯的。馮諾曼的版本是：

對一個態向量 Ψ 進行 X 觀察，坍陷的的期望值為 <X，Ψ>。再做一次 Y 觀察，坍陷的的期望值為 <Y，Ψ>，則假設： <X+Y，Ψ> = <X，Ψ>+<Y，Ψ>。

要是世界上有隱變數， <X+Y，Ψ，H> = <X，Ψ，H>+<Y，Ψ，H>….

波姆說 H 不能拿去平均，X 擲骰子平均 3.5 點， Y 擲骰子平均 3.5 點，不代表 X、Y 一起擲骰子加起來是 7 點。因為假設錯了，這個證明無效。

不光是證明別人錯就好。波姆把導波換成量子勢 (quantum potential)，說粒子有這個勢，所以可以感應到雙縫的存在，因此粒子隨之產生微妙的變化。不過這個說法雖然 “勢在必行"、"勢不可擋"，卻等於同時承認了超距力。

換言之，就算我們要看遙遠的星河的光有沒有通過雙縫，雙方都要產生超光速的感應才行。學術地說，他的理論破壞了 “定域性" (locality)，說服力不足。

[一個 patch] 1964 年，約翰·斯圖爾特·貝爾 (John Stewart Bell) 證明了任何想要重現量子力學結果的隱變量理論，都不能是定域的。他怎麼證明呢？書上有很長的說明 (p. 288~p.292)，我們講一些好懂的。

假設一對糾纏的粒子 A 和 B 分別分到宇宙的兩端。由 Alice 測量粒子 A，Bob 測量粒子。

[愛因斯坦版] 兩個粒子分手前，已經帶的標準答案離開，Alice 測量 A，並不會影響 Bob 測量 B。

[波姆版] Alice 測量 A 時，B 就發現了，所以會影響 Bob 的測量。

[貝爾版] 假如 A、B 各自帶著標準答案離開的話，以單純的機率來說， Alice 和 Bob 的統計相關性會有個上限。其中，P 是機率，Pxy 代表粒子 A 在 x 軸為 +，且粒子 B 在 y 軸也為 + 的機率。

|Pxz – Pzy| ≦ 1 + Pxy

貝爾不等式簡單地證明了，在定域隱變數理論下，某些實驗統計結果不能超過某個數值。反之，如果統計結果突破了貝爾不等式的上限，定域隱變數就不存在。

隨著科技的進步，科學家已經可以用實驗重現 EPR 的推論。不意外地，實驗愈精準，偏離貝爾不等式愈多。

要嘛承認沒有隱變數、要嘛承認超距力 (還不等於超光速)，兩者愛因斯坦都不能接受，不過這也沒辦法。貝爾本來想要加持隱變數一脈，結果貝爾不等式反而背刺了老前輩。

[GHZ 測試] 貝爾不等式雖然只用國中數學和兩個粒子就能解釋，但是世界在進步。後起之秀 Greenberger、Horne、Zeilinger 又證明了 3 個以上的粒子糾纏時，也和定域隱變數不相容。

在此先告一段落，沒有定域隱變數 (局域隱變量)，結案。

[REF]

  1. 本書勘誤, p. 292, 1 印成 |，把貝爾不等式印錯了。
  2. 本書勘誤, p. 293, 1 印成 |，把貝爾不等式印錯了。

我讀《量子物理史話》- 4

上帝擲骰子嗎？

我們先列一下正反雙方代表，忽略那些不選邊站的人。

  • 正方 – 哥本哈根學派 – 機率、不確定：波耳、波恩、海森堡
  • 反方 – 因果論、決定論：愛因斯坦、德布羅意、薛丁格。

[第一戰 /1927 年第五次索爾維會議]

  • [正方，波耳] 你可以設計實驗看到波動性，也可以設計實驗看到粒子性，但不能在同一個實驗裡同時完整得到兩者。
  • [反方，愛因斯坦] 如果粒子通過某個狹縫，它一定會對狹縫產生一點點反作用力。那我不直接觀察粒子，而是觀察狹縫本身被推了一下，就能推算粒子走哪條路。
  • [正方，波耳] 你不能把測量裝置當成完全不受量子規則限制的東西。狹縫板本身也要遵守不確定性原理。

[第二戰 /1930 年第六次索爾維會議]

  • [反方，愛因斯坦] 用一個光箱關注一堆光子，開啟一個快門，讓一顆光子在 △T 的時間內飛出箱子，秤出箱子減輕 △m。E=mc2，所以△ E、△T 都可確定。
  • [正方，波耳] 想了一晚。
  • [正方，還是波耳] 假設用彈簧秤測量箱子重量，光子飛出，箱子變輕，彈簧秤位移 △q 。箱子在重力場中位置不確定，根據某位愛大的廣義相對論，透過重力時間膨脹，會造成時鐘讀數 △T 不確定。

因為波耳用的是 “以彼之道，還施彼身"，反方無可辦駁，收工。

因為第二次世界大戰，物理學家不能齊聚一堂了。但辯論還沒有結束。第三戰 EPR 三英戰呂布。

[反方] 1935 年 3 月, 愛因斯坦 (E 大)、波多爾斯基 (Boris Podolsky) 和羅森 (Nathan Rosen) 合寫了一篇論文《量子力學對物理實在的描述可能是完備的嗎?》。

我們用 Bohm改寫的版本來講：假如有一顆大粒子忽然分裂成兩顆粒子 A 和 B，各自往不同的方向飛去。分裂前，粒子處於左旋和右旋的疊加態。我們去觀察第粒子 A，它忽然就坍縮 (或塌縮) 為左旋。基於角動量守恆，我們不管是否去觀察粒子 B，它都必須得右旋了，它怎麼可能超光速感應粒子A 被觀察了，這像話嗎？

[正方，波耳] 這個粒子呢，不管有沒有分裂，都是同一個系統，你觀察 A 就等於觀察 B。

EPR 論文鼓舞了薛丁格。也是 1935 年，他拿出了他有名的貓。假如有個粒子在衰變和為衰變的疊加態，又跟貓關在一子裡。你一打開箱子觀察，粒子就坍縮。坍縮成有放射性，則貓死。坍縮成非放射性，則貓活。問題是，疊加態的那段時間，貓是又死又活嗎？

我們可以看到每一戰打的主題都不同。到了 “薛丁格的貓" 這題，主要是挑戰 “觀察導致坍縮" 的不合理。事實上，本書的主要內容，我以前在別的書都讀過，算是小小複習。但是這本書比較新的地方是，它提供了更多門派對於 “觀察導致坍縮" 的解釋，我們不能一直靠波耳啊~~~

[意識流] 1967 年，維格納 (Eugene Wigner)：其實儀器都沒有坍縮，是到了人的意識 (Consciousness) 這關，必須得坍縮，給出個說法。假設有個 “維格納的朋友" 和貓一起關在箱子哩，他肯定和貓共死啊！如果維格納還連絡得上他，那就是生，沒反應就是死了，生死是由外面的人判斷的。

1979 年，約翰惠勒(John Wheeler) 提出延遲實驗 (delayed choice experiment)。既然一看就坍縮，那我先不看。讓光子先經過半透鏡 (分束器，Beam Splitter) 1，下圖中，它可能往右或是往下。等到路徑確定、木已成舟再觀察如何？

本圖取自 [1]

1984 年，卡洛爾阿雷(Carroll O Alley) 和同事做出這個實驗。在沒有半透鏡 2 ( BS2 ) 之前，光子有時經過探測器 1 ，有時候是探測器 2，呈現粒子性。但是我們如果在光子還沒有到達 BS2 之前，熊熊把 BS2 塞進去…雖然理論上粒子已經選好路徑、木已成舟，但是我們卻會看到干涉現象，表示兩條路經上都"已經" 有光子？

這下好了，難道"觀察能改變歷史？" AI 可以接受的正規的解釋是："在測量完成以前，不能用古典方式說光子早已確定走哪一條路" 、"兩條路徑的量子振幅必須共同描述"。但我們先繼續看其他有趣的解釋。

[多重世界流 (MWI – Many World Interpretation] 1957 年，休・埃弗萊特三世 (Everett) 發表了多世界理論的論文。他的觀點很簡單，你以為你觀察的瞬間發生坍縮了嗎？沒有，是世界分裂了，從疊加態分裂成了多個世界，而你在其中的一個世界，所以看到的是確定的其中一種結果。在別的平行世界裡，光子走了另外一條縫；另外一個你，看到別的結果。

這個理論最大的缺點就是太費 “世界" 了，看一眼分裂一下，成本相當地高。連奇異博士看到的 1,400 萬 605 種結局 [2]，都不夠用。波耳對這個理論不買單，讓埃弗萊特灰心地退出物理界。不過 “平行宇宙” (Parallel Universes) 的想法，近年來倒是普遍為影視界所接受，成為受歡迎的解釋之一。

[高維宇宙] 1990 年後，Tegmark 提出另外一種見解。在量子力學中，N 個粒子的波函數不是定義在普通三維空間，而是定義在高維組態空間中。若只考慮位置，N 個粒子需要 3N 個空間座標；若再加上動量，古典相空間會是 6N 維。從這麼高的維度來看，任意兩個子世界都是正交的，不能互相影響，只是呈現疊加的狀態。

對於粒子走哪條路這種小事，它們的維度很低，所以多重世界互相有投影量。當系統和儀器、環境糾纏後，不同結果會對應到幾乎互相正交的環境狀態。由於環境自由度巨大，這些分支之間的干涉項迅速消失，這就是退相干 (decoherence) 的現象。

這個宇宙原本的狀態可以表示為：

(a|通過左縫> + b|通過右縫>)×|未進行觀測的我們>×|宇宙的其他部分>

如果被我們偷偷觀察了一下：

(a|通過左縫>|觀測到左的我們> + b|通過右縫>|觀測到右的我們>)×|宇宙的其他部分>

括號內維度增加，造成退相干。

OK，這是另外一套說法，當然又是有人贊成、有人反對。70 年代以來，愈來愈多的學者貢獻在這個方面，把這套理論修補地更完善了。基本上，它和多重宇宙並不衝突，並省下許多個宇宙的成本。我們再來看看反對的。

[量子自殺]

假如觀察導致坍縮，薛丁格的貓在某個世界死了，在另外一個世界就是活的。再做第二輪實驗，又死了一隻貓，但有一隻還是活著。按照這個理論，不管做幾次實驗，都有一隻活貓，所以貓其實永生不死。把貓換成人，放射線改成槍，我們得到一個自殺也永遠死不了的人 – 量子永生 (quantum immortality)。

啊！這個世界看起來這麼難以自圓其說，傷透許多完美主義者的心。那些我們下次再寫。

[REF]

  1. 延迟选择实验
  2. 在《復仇者聯盟：無限之戰》中，奇異博士預見了 1,400萬605種 未來，其中打敗薩諾斯的致勝關鍵「只有一次」——就是讓東尼·史塔克（鋼鐵人）打響指犧牲自己。

我讀《量子物理史話》- 3

雖然德布羅意把所有的粒子都賦予波的特性，但波粒之爭還是沒有平息。身為哥本哈根學派一代宗師的波耳，不得不設法幫兩方調停。

[波粒和解] 1924 年 BKS 理論 – 波耳和他的助手克莱默(Kramers) 以及斯雷特 (Slater) 提出這個理論。他們試圖用「虛擬振子」描述原子如何與輻射場互動，想在光的波動圖像與量子躍遷之間取得妥協。不過 BKS 理論只要求能量與動量在統計平均上守恆，而不要求每一次微觀事件都守恆，這點很快被實驗否定。

索末菲 (A.Sommerfeld) 的學生 – 海森堡 (Werner Heisenberg) 原本也想從虛振子的角度切入研究，但是他發現在數學上走不通之後，決定自己來打造一套理論。既然能階是一級一級的，海森堡就給它建個表，寫上從哪一階到另一階各自需要多少能量。於是，他得到了一個二維的對照表，記錄不同量子狀態之間可觀測躍遷量。

按照這個表，原子從某個能階跳到另一個能階時，對應的輻射頻率與強度可以被記錄下來。如果連跳兩次呢？那就把這個表乘兩次。乘積的算法大家現在都會了，但海森堡當時並不熟悉矩陣理論，但他的計算規則其實正是矩陣乘法。

按照這個計算方式，假如電子從能階 A 跳到能階 D，然後又從能階 D 跳到能階 B，這是一種可能性。從能階 A 跳到能階 C，然後又從能階 C 跳到能階 B 呢？這又是一種可能。矩陣乘法會對所有可能的中間能階求和，因此自然包含了不同中間狀態的貢獻。矩陣元素的大小與躍遷振幅、譜線強度有關，而不是直接表示電子在某個位置的機率。

不過問題來了，跳的順序竟然會影響計算的結果。海森堡不知道如何解釋 IxII ≠IIxI，於去拿著論文草稿去找老師波恩討論。吃瓜群眾這時可能已經先舉手說：啊就矩陣乘法沒有交換性啊？其實數學歸數學，物理的解釋才是重要。波恩知道這是矩陣運算，最後找到助教約爾當 (Pascual Jordan) 提供數學基礎，兩人合作之下，算出了

  • p x q ≠ q x p
  • pq – qp = (h/2πi) I – 其中 h 是普朗克常數，i 是虛數，I 是單位矩陣 [3]。

為什麼有虛數？這是因為波常常會寫成 eikx 的形式，所以出現 i 會是正常現象 [4]。

[量子矩陣派] 1925年，波恩和約爾當合寫了論文《論量子力學》(Zur Quantenmechanik)。

等等！這不是海森堡先發現的嗎？雖然他不認識矩陣，但他是原創啊。還好這三個人不內捲。同年底三個人共同發表了《論量子力學 II》。

[量子能量派] 1926 年，薛丁格 (Schrödinger，沒聽過薛丁格也聽說過他的貓) 發表論文，用他的理論解釋氫原子光譜分析的結果，複製出和波耳模型一樣的答案。重點是他有數學公式。

薛丁格最初是從德布羅意波出發，然後用哈密頓-雅可比方程式 [1] 去描述波。其中，哈密頓在描述系統能量和運動規則，雅可比在描述物體每一秒的位置和速度是多少？兩個合在一起，是在找「從起點到某個位置，最符合自然規律的走法」。

薛丁格把原本的系統能量換成波的總能量，這些波函數必須滿足特定邊界條件，例如不能發散、要單值、要連續，因此只允許某些穩定的波形 (eigen function) 存在 ，對應的本徵 (或說表徵) 值 (eigen value) 就是可測得的物理量，例如能量。

這些允許的波形對應到離散的能量，也符合量子一份一分的精神。公式理所當然地就會有普郎克常數在裡面。這就得到廣義的薛丁格方程式 。

它已經隱藏了動能和位能的變數。完整展開後的公式，看了頭會更大 [5]。

按照書上的說法 (p. 145)，薛丁格和海森堡互相討厭。海森堡說薛丁格的理論是 Mist (德文版的 bullshit)，薛丁格在論文中說海森堡的理論令人沮喪。雖然兩派一開始互看不順眼，但薛丁格很快證明兩種形式其實等價。我們以前做矩陣運算不也求過 eigen value 嗎？感覺確實有點相關。

此外，和海森堡一起寫論文的老師波恩，就此跑到薛丁格的陣營去了。此舉令海森堡有些難過。不過波恩老師也有自己的看法。薛丁格的波那麼多條，要抓均線還是月線呢？還是每一條都有可能，跟擲骰子一樣？

[量子機率派] 1926 年 7 月，波恩將骰子帶進物理界提出他對波函數的機率詮釋：波函數本身不是物質波的實體密度，而是機率振幅；其絕對值平方代表找到粒子的機率密度。因為這個想法太勁爆了，以至於他在 28 年後才得到諾貝獎，他的學生們早就拿到了。

題外話，海森堡出名的不是他的矩陣，而是測不準原理。p x q ≠ q x p，不就是先固定 p，得到的 q，不等於先固定 q，所得到的 p 嗎？他經過一番計算，得到 p、q 測量誤差的關係式，這是不是跟 pq – qp = (h/2πi) I 長得就像一家人啊？

△p×△q ≥ h/4π (或 ℏ​ /2， ℏ​ 和 h 不同) [7]

再回到一開始想幫大家講和的大家長波耳。既然 BKS 理論不行了，波耳說我們承認量子都是波、又都是粒子行不行呢？量子在不同實驗安排中，它會顯現粒子性或波動性。這兩種描述彼此不能同時完整呈現，卻又都是理解量子現象不可或缺的部分。這就是所謂的“互補原理”(Complementary Principle)。

波耳的互補原理、波恩的機率解釋、和海森堡的不確定性，三者共同構成了量子論的哥本哈根解釋，學者認同他們的理念就可以稱為哥本哈根學派。

[REF]

  1. 哈密頓-雅可比方程式
  2. 薛丁格方程式
  3. p. 134, GPT 5.5 說書上的符號錯了，這局我不挺 AI.
  4. AI 解釋得很囉唆，我覺得簡單講就好。

5. AI 寫給好學的你。

  • 6. 勘誤 : 本書 p. 163 “做出了轟動一時的道歉"，"動"字漏印了。
  • 7. 勘誤：本書 p. 173，符號應為 ≥，本書誤植為 >。
  • 8. 勘誤：本書 p. 128， 第一個表。巴士 I 號線重複兩次，第二次應為巴士 II 號線。