雖然德布羅意把所有的粒子都賦予波的特性，但波粒之爭還是沒有平息。身為哥本哈根學派一代宗師的波耳，不得不設法幫兩方調停。
[波粒和解] 1924 年 BKS 理論 – 波耳和他的助手克莱默(Kramers) 以及斯雷特 (Slater) 提出這個理論。他們試圖用「虛擬振子」描述原子如何與輻射場互動，想在光的波動圖像與量子躍遷之間取得妥協。不過 BKS 理論只要求能量與動量在統計平均上守恆，而不要求每一次微觀事件都守恆，這點很快被實驗否定。
索末菲 (A.Sommerfeld) 的學生 – 海森堡 (Werner Heisenberg) 原本也想從虛振子的角度切入研究，但是他發現在數學上走不通之後，決定自己來打造一套理論。既然能階是一級一級的，海森堡就給它建個表，寫上從哪一階到另一階各自需要多少能量。於是，他得到了一個二維的對照表，記錄不同量子狀態之間可觀測躍遷量。
按照這個表，原子從某個能階跳到另一個能階時，對應的輻射頻率與強度可以被記錄下來。如果連跳兩次呢？那就把這個表乘兩次。乘積的算法大家現在都會了，但海森堡當時並不熟悉矩陣理論，但他的計算規則其實正是矩陣乘法。
按照這個計算方式，假如電子從能階 A 跳到能階 D，然後又從能階 D 跳到能階 B，這是一種可能性。從能階 A 跳到能階 C，然後又從能階 C 跳到能階 B 呢？這又是一種可能。矩陣乘法會對所有可能的中間能階求和，因此自然包含了不同中間狀態的貢獻。矩陣元素的大小與躍遷振幅、譜線強度有關，而不是直接表示電子在某個位置的機率。
不過問題來了，跳的順序竟然會影響計算的結果。海森堡不知道如何解釋 IxII ≠IIxI，於去拿著論文草稿去找老師波恩討論。吃瓜群眾這時可能已經先舉手說：啊就矩陣乘法沒有交換性啊？其實數學歸數學，物理的解釋才是重要。波恩知道這是矩陣運算，最後找到助教約爾當 (Pascual Jordan) 提供數學基礎，兩人合作之下，算出了
- p x q ≠ q x p
- pq – qp = (h/2πi) I – 其中 h 是普朗克常數，i 是虛數，I 是單位矩陣 [3]。
為什麼有虛數？這是因為波常常會寫成 eikx 的形式，所以出現 i 會是正常現象 [4]。
[量子矩陣派] 1925年，波恩和約爾當合寫了論文《論量子力學》(Zur Quantenmechanik)。
等等！這不是海森堡先發現的嗎？雖然他不認識矩陣，但他是原創啊。還好這三個人不內捲。同年底三個人共同發表了《論量子力學 II》。
[量子能量派] 1926 年，薛丁格 (Schrödinger，沒聽過薛丁格也聽說過他的貓) 發表論文，用他的理論解釋氫原子光譜分析的結果，複製出和波耳模型一樣的答案。重點是他有數學公式。
薛丁格最初是從德布羅意波出發，然後用哈密頓-雅可比方程式 [1] 去描述波。其中，哈密頓在描述系統能量和運動規則，雅可比在描述物體每一秒的位置和速度是多少？兩個合在一起，是在找「從起點到某個位置，最符合自然規律的走法」。
薛丁格把原本的系統能量換成波的總能量，這些波函數必須滿足特定邊界條件，例如不能發散、要單值、要連續，因此只允許某些穩定的波形 (eigen function) 存在 ，對應的本徵 (或說表徵) 值 (eigen value) 就是可測得的物理量，例如能量。
這些允許的波形對應到離散的能量，也符合量子一份一分的精神。公式理所當然地就會有普郎克常數在裡面。這就得到廣義的薛丁格方程式 。
它已經隱藏了動能和位能的變數。完整展開後的公式，看了頭會更大 [5]。
按照書上的說法 (p. 145)，薛丁格和海森堡互相討厭。海森堡說薛丁格的理論是 Mist (德文版的 bullshit)，薛丁格在論文中說海森堡的理論令人沮喪。雖然兩派一開始互看不順眼，但薛丁格很快證明兩種形式其實等價。我們以前做矩陣運算不也求過 eigen value 嗎？感覺確實有點相關。
此外，和海森堡一起寫論文的老師波恩，就此跑到薛丁格的陣營去了。此舉令海森堡有些難過。不過波恩老師也有自己的看法。薛丁格的波那麼多條，要抓均線還是月線呢？還是每一條都有可能，跟擲骰子一樣？
[量子機率派] 1926 年 7 月，波恩將骰子帶進物理界提出他對波函數的機率詮釋：波函數本身不是物質波的實體密度，而是機率振幅；其絕對值平方代表找到粒子的機率密度。因為這個想法太勁爆了，以至於他在 28 年後才得到諾貝獎，他的學生們早就拿到了。
題外話，海森堡出名的不是他的矩陣，而是測不準原理。p x q ≠ q x p，不就是先固定 p，得到的 q，不等於先固定 q，所得到的 p 嗎？他經過一番計算，得到 p、q 測量誤差的關係式，這是不是跟 pq – qp = (h/2πi) I 長得就像一家人啊？
△p×△q ≥ h/4π (或 ℏ /2， ℏ 和 h 不同) [7]
再回到一開始想幫大家講和的大家長波耳。既然 BKS 理論不行了，波耳說我們承認量子都是波、又都是粒子行不行呢？量子在不同實驗安排中，它會顯現粒子性或波動性。這兩種描述彼此不能同時完整呈現，卻又都是理解量子現象不可或缺的部分。這就是所謂的“互補原理”(Complementary Principle)。
波耳的互補原理、波恩的機率解釋、和海森堡的不確定性，三者共同構成了量子論的哥本哈根解釋，學者認同他們的理念就可以稱為哥本哈根學派。
[REF]
- 哈密頓-雅可比方程式
- 薛丁格方程式
- p. 134, GPT 5.5 說書上的符號錯了，這局我不挺 AI.
- AI 解釋得很囉唆，我覺得簡單講就好。
5. AI 寫給好學的你。
- 6. 勘誤 : 本書 p. 163 “做出了轟動一時的道歉"，"動"字漏印了。
- 7. 勘誤：本書 p. 173，符號應為 ≥，本書誤植為 >。
- 8. 勘誤：本書 p. 128， 第一個表。巴士 I 號線重複兩次，第二次應為巴士 II 號線。
Cash Chou's Blog 