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我讀《量子物理史話》- 3

雖然德布羅意把所有的粒子都賦予波的特性，但波粒之爭還是沒有平息。身為哥本哈根學派一代宗師的波耳，不得不設法幫兩方調停。

[波粒和解] 1924 年 BKS 理論 – 波耳和他的助手克莱默(Kramers) 以及斯雷特 (Slater) 提出這個理論。他們試圖用「虛擬振子」描述原子如何與輻射場互動，想在光的波動圖像與量子躍遷之間取得妥協。不過 BKS 理論只要求能量與動量在統計平均上守恆，而不要求每一次微觀事件都守恆，這點很快被實驗否定。

索末菲 (A.Sommerfeld) 的學生 – 海森堡 (Werner Heisenberg) 原本也想從虛振子的角度切入研究，但是他發現在數學上走不通之後，決定自己來打造一套理論。既然能階是一級一級的，海森堡就給它建個表，寫上從哪一階到另一階各自需要多少能量。於是，他得到了一個二維的對照表，記錄不同量子狀態之間可觀測躍遷量。

按照這個表，原子從某個能階跳到另一個能階時，對應的輻射頻率與強度可以被記錄下來。如果連跳兩次呢？那就把這個表乘兩次。乘積的算法大家現在都會了，但海森堡當時並不熟悉矩陣理論，但他的計算規則其實正是矩陣乘法。

按照這個計算方式，假如電子從能階 A 跳到能階 D，然後又從能階 D 跳到能階 B，這是一種可能性。從能階 A 跳到能階 C，然後又從能階 C 跳到能階 B 呢？這又是一種可能。矩陣乘法會對所有可能的中間能階求和，因此自然包含了不同中間狀態的貢獻。矩陣元素的大小與躍遷振幅、譜線強度有關，而不是直接表示電子在某個位置的機率。

不過問題來了，跳的順序竟然會影響計算的結果。海森堡不知道如何解釋 IxII ≠IIxI，於去拿著論文草稿去找老師波恩討論。吃瓜群眾這時可能已經先舉手說：啊就矩陣乘法沒有交換性啊？其實數學歸數學，物理的解釋才是重要。波恩知道這是矩陣運算，最後找到助教約爾當 (Pascual Jordan) 提供數學基礎，兩人合作之下，算出了

  • p x q ≠ q x p
  • pq – qp = (h/2πi) I – 其中 h 是普朗克常數，i 是虛數，I 是單位矩陣 [3]。

為什麼有虛數？這是因為波常常會寫成 eikx 的形式，所以出現 i 會是正常現象 [4]。

[量子矩陣派] 1925年，波恩和約爾當合寫了論文《論量子力學》(Zur Quantenmechanik)。

等等！這不是海森堡先發現的嗎？雖然他不認識矩陣，但他是原創啊。還好這三個人不內捲。同年底三個人共同發表了《論量子力學 II》。

[量子能量派] 1926 年，薛丁格 (Schrödinger，沒聽過薛丁格也聽說過他的貓) 發表論文，用他的理論解釋氫原子光譜分析的結果，複製出和波耳模型一樣的答案。重點是他有數學公式。

薛丁格最初是從德布羅意波出發，然後用哈密頓-雅可比方程式 [1] 去描述波。其中，哈密頓在描述系統能量和運動規則，雅可比在描述物體每一秒的位置和速度是多少？兩個合在一起，是在找「從起點到某個位置，最符合自然規律的走法」。

薛丁格把原本的系統能量換成波的總能量，這些波函數必須滿足特定邊界條件，例如不能發散、要單值、要連續，因此只允許某些穩定的波形 (eigen function) 存在 ，對應的本徵 (或說表徵) 值 (eigen value) 就是可測得的物理量，例如能量。

這些允許的波形對應到離散的能量，也符合量子一份一分的精神。公式理所當然地就會有普郎克常數在裡面。這就得到廣義的薛丁格方程式 。

它已經隱藏了動能和位能的變數。完整展開後的公式，看了頭會更大 [5]。

按照書上的說法 (p. 145)，薛丁格和海森堡互相討厭。海森堡說薛丁格的理論是 Mist (德文版的 bullshit)，薛丁格在論文中說海森堡的理論令人沮喪。雖然兩派一開始互看不順眼，但薛丁格很快證明兩種形式其實等價。我們以前做矩陣運算不也求過 eigen value 嗎？感覺確實有點相關。

此外，和海森堡一起寫論文的老師波恩，就此跑到薛丁格的陣營去了。此舉令海森堡有些難過。不過波恩老師也有自己的看法。薛丁格的波那麼多條，要抓均線還是月線呢？還是每一條都有可能，跟擲骰子一樣？

[量子機率派] 1926 年 7 月，波恩將骰子帶進物理界提出他對波函數的機率詮釋：波函數本身不是物質波的實體密度，而是機率振幅；其絕對值平方代表找到粒子的機率密度。因為這個想法太勁爆了，以至於他在 28 年後才得到諾貝獎，他的學生們早就拿到了。

題外話，海森堡出名的不是他的矩陣，而是測不準原理。p x q ≠ q x p，不就是先固定 p，得到的 q，不等於先固定 q，所得到的 p 嗎？他經過一番計算，得到 p、q 測量誤差的關係式，這是不是跟 pq – qp = (h/2πi) I 長得就像一家人啊？

△p×△q ≥ h/4π (或 ℏ​ /2， ℏ​ 和 h 不同) [7]

再回到一開始想幫大家講和的大家長波耳。既然 BKS 理論不行了，波耳說我們承認量子都是波、又都是粒子行不行呢？量子在不同實驗安排中，它會顯現粒子性或波動性。這兩種描述彼此不能同時完整呈現，卻又都是理解量子現象不可或缺的部分。這就是所謂的“互補原理”(Complementary Principle)。

波耳的互補原理、波恩的機率解釋、和海森堡的不確定性，三者共同構成了量子論的哥本哈根解釋，學者認同他們的理念就可以稱為哥本哈根學派。

[REF]

  1. 哈密頓-雅可比方程式
  2. 薛丁格方程式
  3. p. 134, GPT 5.5 說書上的符號錯了，這局我不挺 AI.
  4. AI 解釋得很囉唆，我覺得簡單講就好。

5. AI 寫給好學的你。

  • 6. 勘誤 : 本書 p. 163 “做出了轟動一時的道歉"，"動"字漏印了。
  • 7. 勘誤：本書 p. 173，符號應為 ≥，本書誤植為 >。
  • 8. 勘誤：本書 p. 128， 第一個表。巴士 I 號線重複兩次，第二次應為巴士 II 號線。

丹麥之旅 – 2

2026/7/3（五）

到了丹麥，當然要看小美人魚。今天下雨，遊客很少。

接下來去吉菲昂噴泉(Gefionspringvandet)，這個銅雕很厲害。四隻牛拉車的張力十足。

接下來是簡單的城市之旅。丹麥比起前面的三個國家，多了很多歷史建築。首先我們停車在腓特列教堂 （Marmorkirken）附近。

由下圖左上角的 Frederilsgade 到走阿馬林堡宮殿廣場 (amalienborg slotsplads)。Gede 就是台語的"街道"。

其中，克里斯丁九世 (Christian IX)有個人專屬雕像。因為他到處聯姻，有歐洲岳父的稱號。

宮殿當然少不了衛兵，但是女衛兵很罕見。

接著我們從左下方黃宮那個方向，穿過大使館林立的 Amaliegade 離開。走到新港 (Nyhavn)。

新港就是哥本哈根最好拍的景點。有人去搭一小時的渡輪 (票價 207 DKK，差不多一千台幣有找)，有人徒步拍照。

我家是散步組，所以可以抽空先吃午餐，但老婆挑食又說不餓，我只好買一支 70 DKK 的熱狗，然後被老婆吃掉一半。

中午大家會合後，領隊再帶我們去看旁邊的丹麥歌劇院，以及旁邊的安徒生像。

接下來我們又是下午的自由活動。大部份的時間都花在 Rains 旗艦店，以及解決退稅碼的烏龍事件。簡單來說，結帳完畢，店員設定好畫面，我們填上 email 和電話後，會出現一個QR code.

雖然我填老婆的 email，但是我的手機不是拍照，而是掃 QR code，所以退稅簡碼就被我的 email 綁架了。老婆聽人說，退稅不當場搞定，回去會扯不清。所以她叫我幫她裝 app，用她的 email 為帳號，卻怎麼也吃不進那個退稅碼。

店員很熱心但是解決不了，領隊很無奈，說這個他沒有特別厲害。我打開我的手機，結果我的帳號可以正常操作，只是要等海關蓋章過有貼紙的收據，用 app 拍照上傳才能結案。老婆又問過 chatgpt 也是這樣講，才放心離開 Rains. （我感謝AI）

剩下的時間我們還是到處拍照。下圖是克里斯蒂安堡宮 (Christiansborg Slot)。

雨停了，但風超級大，Stork Fountain 噴水池的水都歪了。

後來走到哥本哈根大學前面，忽然想起波耳和哥本哈根學派。他們對量子物理貢獻卓著，原來就是在這塊土地上想出來的。

晚餐我們就在最熱鬧的斯楚格街 (Strøget) 的 Buka 吃斯堪地風味餐。他們的豬肉煮得不錯，但是沒甜點令人不習慣。

外面有巴勒斯坦人抗議以色列，我們好像一早就在各處遇到他們了，天祐巴勒斯坦人。

明天凌晨三點就要出發到機場，伊斯坦堡機場一年路過四次，已經沒啥可以寫了，除非博物館有開門。讓我們拭目以待。

[後記]

這次在丹麥的機場有個發現。通常我們在歐洲，大家都說廁所水龍頭的冷水可以生飲，但是熱水不能喝。這次老婆在丹麥機場裝水的時候，發現水是溫的，所以她很疑惑能不能喝？後來換了一件廁所 – 感覺 CHP 機場真是十步之內就有一間廁所，原來這裡有差別。右邊有牌子的才是飲用水 (冷的)。

丹麥之旅 – 1

2026/7/2 (三)

這兩次搭船都是早上 10 點靠岸。吃完早餐，很快就要準備下船了。由於大家都想早點上岸，以至於在 5 樓樓梯口塞了滿久的時間。Silja 號則是在 7樓下船，客人可以在先以商店街緩充，感覺比較不窘迫。

踏上丹麥國土後，幣別成了丹麥克朗 DKK。除了芬蘭用歐元，瑞典克朗 SEK 大概是 3.3 台幣，挪威克朗 NOK 是 3.24 台幣，但 DKK 是 4.85 台幣。本來習慣看到售價 x 3，猛一看丹麥的東西還以為它便宜，其實差不多要 x 5。

丹麥的第一個景點是旋轉塔。它位在一個山訓場地裡面。像我們這種觀光客只是登塔拍照留念。其實他可以當渡假村主蒙古包，或是玩山訓器材。

因為這兩天丹麥下雨，塔上風又大，我的雨傘開花好幾次了。我覺得回國時把傘留在北海邊牧羊。

午餐在園區自理。說起來還滿顯窮的，這樣就要 160 DKK. 不過確實它的漢堡比台灣的華堡還大，用料也不錯。

下午的行程表上說要去折扣村，其實就是去 outlet。它的建築結構就是每家店佔一間房，沒有公共走道或是休憩區。如果風和日麗，那麼在每間店進進出出也不成問題。但是雨下得不小，濕淋淋地在每家店開傘收傘，感覺有點淒涼。事後發現，果然一張照片都沒拍。

於是我們直接跑去隔壁的 fotex 大賣場。他們的沙拉包裝得像賣花一樣，還冰起來。晚上去另外一家比較簡陋的 Netto 超市就不冰照樣賣。

晚上我們還是吃中餐。團友覺得偏鹹，我覺得還行。可能是中午薯條還更鹹都吃慣了。所以我要額外稱讚老闆在我筷子被碰掉時馬上補我一雙。

哥本哈根有很多漂亮的房子。明天我們才正式做市區觀光加自由活動，希望天氣好一點。附上車站和電影院搶拍的快照。

附上團友拍的新房子。

BTW, 以前我們老師教數學的時候，把數字 0 加上斜槓 (Ø)，說是可以和字母 o 做區別。想不到，挪威和丹麥的 0 加上斜槓 (Ø)，就是字母 o，這下更難分辨了。