日期: 2009 年 10 月 4 日

風險與不確定性

風險 (risk) 與不確定性 (uncertainty) 最初被大家認為是一樣的東西, 直到奈特明確地在他的博士論文 (後來變成 "風險不確定性與利潤" 一書) 中指出其中的差異. 所謂的風險是指可以度量的不確定性, 而不能度量的就是不確定性啦!

凱因斯雖然和奈特沒有私交, 甚至有些齟齬, 但是他的觀點也相當類似. 在機率論 (A Treatise on Probability) 一書當中, 凱因斯表達了對於依據機率做決策感到不耐. 他反對用過去發生的機率來決定我們該做什麼? 也討厭用事件 (event)  一詞,  因為他認為 "事件" 隱含了將會計算其發生頻率. 凱因斯認為我們應該注重不確定性, 更甚於古典經濟學的統計的數據.

什麼是不確定性呢? 那就是 "其他人在想什麼?" 假如我們知道別人在想什麼? 或是我們以為我們知道, 那麼我們會做什麼呢? 這就是 "賽局理論" 啦! 馮.諾伊曼 (John von Neumann) 據說是賽局理論的發明人, 而我們都知道納許 (John Nash) 以賽局理論中的納許均衡 (Nash Equilibrium) 得到了諾貝爾獎, 這是因為納許進一步地解釋了賽局的結果 – 穩定但是不如人意.

為了避開風險, 一般人寧可做出次佳的選擇. 但是, 人類其實會追求風險. 在威廉斯 (John Burr Williams) 的 "投資價值論" (The Theory of Investment Value) 一書中, 開宗明義的第一句話就寫道: "沒有買主會認為市場上的股票具有同樣的吸引力….完全相反, 他一定會找尋價格最好的股票!" 也就是說, 沒有人會因為今天想要投資, 就隨便買兩支股票來擺著, 而是想辦法找出一支飆股, 最好是有明牌告訴我們哪支股票會漲! 既然股股不等值, 也就沒有強勢效率市場這回事. 沒有人喜歡安全牌, 若是股票買了不會漲, 基本上就沒有人會買.

這句話也啟發了馬科維坦波茨, 為了平衡風險與獲利, 他以減少變異數的方式來投資. 具體而言, 就是提出一個投資組合. 透過分散投資來降低投資的風險. 在數學上, 可以用線性規劃來解釋: "最小的變異數下的最高股價總和" 就是他所追求的. 然而, 一大堆股票的變異數, 甚至於是共變異數 (covariance) 要怎麼樣合理求得呢?

馬科維茨和夏普 (William Sharpe) 最後找到了替代方案, 也共同得到了諾貝爾獎. 他們的計算方式是避開每支股票彼此之間的數學計算, 而是估計每支股票對於大盤 (整個市場) 的變動, 也就是所謂的貝塔 (ß) 值. 假設貝塔值為 1.36, 就表示大盤每變動 1 個百分點, 這個股票就會跟著變動 1.36 個百分點. 用貝塔值來取代變異數的計算, 使得投資組合最佳化變得較為簡單.

然而, 馬科維茨的理論有一個盲點, 那就是股市為何可以只用兩個變數來建立模型 – 平均數與變異數? 除非股市的報酬得是一個常態分佈才可以, 我們有證據證明證券的報酬是常態分佈嗎? 事實上, 我們找不到這樣的證據, 只能說這個模型堪用. 而依賴投資組合方式也不保證能夠致富. 如果投資人生不逢辰, 將會發現他的年代中股市報酬率奇低, 而變異數超大 – 二次大戰期間, 報酬率約 7%, 但變異數達到 37%.

換個角度看, 變異數真的要愈小愈好嗎? 有些人抱持著相反的觀點. 關鍵就在於我們是拿什麼時候的波動做為比較的基準? 假如在今 (2009) 年的 3 月, 股價已經跌到歷史的低點了, 我們應該不用在乎某支股票太會跌, 以至於不敢買進它. 相反地, 跌得愈多可能意味著愈高的報酬. 因此若干投資人認為風險是相對的.

總括以上對於風險的看法, 我們可以歸納出:

人類不愛好風險, 雖然期望獲利, 但更厭惡損失.

人類不喜歡不確定性.

人類不完全理性, 以至於有 "不變性失效" (failure of invariance).

不變性的失效表現在很多方面, 包括同樣的句子用正負兩面的說法, 就能夠愚弄受試者, 使他們做出自我矛盾的選擇. 心理帳目 (mental accounting), 模糊趨避 (ambiguity aversion), 決策悔意 (decision regret), 沉沒成本 (sunk cost), 原賦效益 (endowment effect), 與期望理論 (prospect theory) 在在證明了人非聖賢.

以上整理自 "Against the Gods" 第 10~17 章.

 

股市的隨機漫步

有一部分的人相信股市的走向是隨機漫步的.

有一種說法是, 市場若很有效率, 則現在的股價就已經充分反映所有的價值, 甚至於潛在的獲利與風險都已經列入考量. 在這種情況之下, 再壞的消息也都只能讓股價少許波動而已. 如果大家反應過度, 公司內部人就會佔你的便宜. 這種強勢效率 (Strong Form Efficiency) 市場表現在某些股票殖利率很高, 但硬是沒人敢買. 因為大家怕它忽然就下市或變壁紙了! 

比強勢效率市場弱一點的, 稱之為半強勢效率 (Semi Strong Form Efficiency) 市場. 它假設市場已經反映了所有公開的訊息, 至於公司內部人才知道的訊息並沒有反映出來. 因此, 股價不知道在漲什麼就漲起來了, 這就可以稱之為半強勢效率市場在發揮作用.

最後一種弱勢效率 (Weak Form Efficiency) 市場就等於是隨機漫步了. 此時假設已知的消息都已經反映在股價上了, 但是其中並不包含預測未來的資訊. 所以新的資訊一到, 股價就隨之上沖下洗. 我認為股價的表現的確像是這樣, 但是假設一切都根據新的消息而起舞, 那就太過頭了. 以博弈概念股來說, 大家早就期待澎湖可能要開放設賭場, 所以股價並不只是根據 "事實" 而波動, 它也會根據 "想像空間" 而波動! 等到公投沒過, 股價掉下來才能用弱效率市場解釋.

想要用一個模型去涵蓋整個市場, 基本上是不合理的. 但是隨機漫步模型至少起了抗拒了 "技術分析" 的作用. 因為股價是依據新資訊, 隱資訊 (公司內部才知道的消息) 和偽資訊 (新資訊發生的機率, 想像空間) 而決定的, 所以技術分析, 光是看過去的資料, 勢必將一無所獲.

在 "Against the Gods" 的第十章討論了這個有趣的問題. 如果隨機漫步為真, 過去的資訊無用, 那麼趨均回歸就變得沒有道理了! 既然沒有 "根", 還能 "回歸" 到哪裡去呢?

德邦特 (Werner Debondt) 與泰勒 (Richard Thaler) 歸納出兩個可能. 第一是趨均w回歸適用於整個市場, 但是不見得適用於個別的股票. 第二, 股東的心理因素. 股東過於貪婪或恐懼, 將使得趨均回歸延遲發生. 換言之, 兩位美國經濟學家的觀點在於強調 "趨均回歸" 為真, 但是並未證明股市可以預測. 既然股市還是不可預測, 那麼就毋須否定隨機漫步!

這就好比布朗運動, 雖然我不知道它要往哪邊動, 但是跑得了和尚跑不了廟. Fama 對於效率市場的定義也有助於解釋 "隨機漫步" 不一定要搞到神鬼莫測的地步, 只不過 (1) 新資訊隨機發生, (2) 投 "機" 人對新資訊各自解讀, 導致 (3) 股價對新資訊隨機變化. 其實我還可以加上一條 (4) 投 "機" 人的時間多寡, 心理素質與操盤能力的差異, 將以常態分佈反映出來, 這就是頭部與底部出現的原因.

另一方面, 如果趨均回歸是有效的, 我們可以透過更多的取樣, 發現變異數 (variance) 較比例為小的狀況. 若是不具備這種特性, 觀察的時間愈久, 變異數反而會愈來愈大. 美國的賴肯斯坦 (William Reichenstein) 與杜賽特 (Dovalee Dorsett) 做了這個實驗. 他們發現標準普爾 500 指數在 1926~1993 年之間, 每 3 年報酬的 variance 是 1 年報酬的 2.7 倍 (< 3), 但 8 年報酬的 variance 就是 1 年報酬的 5.6 倍 (< 8).  換言之, 趨均回歸是可以被證實的.

兩位學者認為: "股市投資人若持股一年, 有 5% 的機會賠掉 25% 以上, 也有 5% 的機率賺進 40% 以上. 另一方面, 若持有包括每種上市股票 30 年, 這個投資組合的成長低於 20% 的機會, 僅 5%, 但投資人賺到 50 倍以上的機會也只有 5%."

然而, 趨均回歸也並非萬靈丹. 畢竟, 回歸是一個現象, (平) 均值本身也會變化. 要花多少時間才能回歸更是沒有人可以知道. 如果一味相信股價會回歸真相, 那還得口袋夠深才可以. 不合理的股價看起來像是一個機會, 但是巴舍利耶 (Louis Bachelier) 說: "投機者的數學期望值為零." 

面對一個可能的賺錢機會, 我們應該要去冒這個險嗎? 過往的數學家教我們機率與分佈, 現在他們也試圖教我們要不要賭一把! 這個賺錢機會被視為一個假說, 我們將要測試這個假說是否應該被否決. 若是它被否決也就罷了, 若是沒有被否決, 投資人仍然要以自己的頭腦來判斷是否值得投資.

比方說, 根據壓力測試 (stress test) 的結果, 美國市場上的基金其實表現幾乎都落後於標準普爾 500 大指數. 但是從機率上來說, 有多少的機會是因為他們運氣不好? (也就是瑕疵針頭的機率明明超低到十萬分之一, 但是就是被檢查到每一千根有兩根的壞的.) 據說我們得花上一百年的時間, 才有 95% 的信心程度直言基金表現不如指數!! 但在我們可以得到這麼肯定的證據之前, 我們總不能不投資吧!

以上整理自 "Against the Gods" 第十章到第十二章.

 

高爾頓其人其事

法蘭西斯·高爾頓（Francis Galton) 這個人, 就是發表進化論的那個達爾文的表弟. 我們在 wiki 可以查到他的生平, 所以他也可以稱得上是一號人物, 他的貢獻是在優生學方面.

據說高爾頓對於數字有偏執性的愛好, 無論是什麼東西, 他都想要取得相關的數據. 甚至於他的口袋就有兩張卡片, 如果在路上遇見正妞, 就在左邊口袋的卡片打個洞, 若是遇見恐龍妹, 就在右邊口袋的卡片打個洞. 根據這個統計數據, 他 "發現" 倫敦的女人分數最高, 亞伯丁的女人其貌最寢~~~總之, 他酷愛數字, 為了測量一位難以接近的非洲美女的三圍, 還會動用三角函數, 皮尺與六分儀, 總之他非要知道具體數字不可.

雖然前面的這些敘述, 讓這位古怪的高爾頓先生看起來像是個維多利亞時代的登徒子, 不過收集這些數字對他來說純粹只是因為好奇. 他對所有的數字都感到興趣, 因而做了許許多多的實驗與統計. 分析這些數字之後, 常態分佈與趨均回歸就在其中矣! 因此高爾頓先生其實是一位學者. 

在高爾頓之前, 在這個方面最有成就的是比利時人凱特爾 (Lambert Adolphe Jacques Quetelet). 凱特爾喜歡研究社會現象與機率, 出版過一本 "論人類及其才能的發展", 這本書討論人的才能, 並且用法文的社會生理" (physique social) 來詮釋才能這個名詞. 凱特爾進一步認為, 如果統計一整個社會所有人的特性, 就會得到一個 "平均人" (average man), 這個平均人跨越性別, 種族與年紀, 代表這個社會的平均值.

即便本土正港台灣人可能不屑於與外來的政權的外省人平均在一起, 但是在這個分裂的台灣, 還是曾經有一個代表性的人物叫做 "李表哥", 他和 "山姆大叔" 代表美國人一樣, 是個由漫畫家勞瑞操刀的 "平均人". 另一方面, 由於硬是要指稱所有的社會都是常態分布的確是有點矯枉過正, 因此與凱特爾同一時期的庫爾諾 (Antoine-Augustin Cournot) 就大力地反對這個觀念.

高爾頓繼承了凱特爾的觀念, 認為凡事都屬常態分布. 此外, 他特別注重於極端的狀況. 因此他在他最重要的著作 "遺傳天賦" (Hereditary Genius) 一書當中, 就估計過天才的百分比. 大致上,  他認為已過中年的英國人, 每 4~5 千個人當中, 有一個人可以擁有傑出的評價. 相反地, 每 400 個人當中, 就有一個白癡. (假如大家都同意常態分布是對稱的, 那麼白癡的標準未免也太寬鬆了…呵呵呵). 這個天才與白癡的觀念, 影響後世相當大, 後來甚至被拿來當作種族滅絕的藉口.

高爾頓的實驗證明, 常態分佈無所不在. 無論是鋼珠的分佈, 甚至於是已分佈鋼珠的再重新掉落一次, 落點仍然是常態分佈. 但如果僅僅是重新證明一次常態分佈, 那麼高爾頓不過是凱特爾第二, , 高斯第三, 或是第四個棣美弗; 高爾頓比前人更突破的地方在於他發現了趨均回歸. 

什麼是趨均回歸呢? 它有一點點 "平均人" 的味道. 就以七類大小不同的豌豆為例, 每一種都有十個樣本. 但是到了它們的子代, 大豌豆的小孩雖大, 但沒那麼大了, 小豌豆的小孩雖小, 但也沒那麼小了. 過於懸殊的 "天才豌豆" 和 "白癡豌豆" 並沒有完全重現在下一代. 這表示特例並不那麼容易重現, 或許要多做幾次實驗, 才可以再看到特大豌豆出現, 甚至它的親代並不是特大豌豆, 而是個大豌豆而已.

豌豆直徑 in 1% 吋
親代 15 16 17 18 19 20 21
子代 15.4 15.7 16 16.3 16.6 17 17.3

 

最近辦公室裏面多了很多新手爸爸, 新手媽媽, 準爸爸與準媽媽. 大家對於下一代可能都有所期許, 不過高爾頓的實驗告訴大家不要想太多, 一切都是命啊! 高個爸爸與高個媽媽生出的孩子大致上是個高個子, 但是依據趨均回歸, 這孩子並不見得會比爸媽都高. 若是多生幾個的話, 倒是有很大的機會生出個長人來! 同樣地若是各位的身高在兄弟姊妹中是比較矮的, 那麼到了子代就有較大的機會生出比自己高的子女. 當然, 現在的小孩營養愈來愈好, 還是要額外加個幾公分, 算是考慮到近來營養與健康上的進步. 

"Against the Gods" 為何從討論機率, 變成討論優生學了呢? 主要是因為股市也有趨均回歸. 大家都說漲多必跌, 有什麼理論根據嗎? 有的, 那就是趨均回歸. 股市加權指數就像現代人的身高一樣節節高升. 日本人的身高在第二次世界大戰後大幅地上揚幾十公分, 一如美國道瓊工業指數從幾百點變成了幾萬點. 然而, 道瓊工業指數有條件漲到百萬點嗎? 我想那和日本人平均身高變成 2 公尺一樣遙不可及.

趨均回歸是我們考慮風險時, 不能忘記的一個因素. 巴菲特, 葛拉漢其實都是趨均回歸的奉行者, 被低估的總有一天會獲得平反. 不只是單一的股票, 連投資組合, 或是一整個國家都難逃趨均回歸的魔咒. 大家也許會痛罵政府無能, 讓台灣的經濟奇蹟變成過往雲煙. 事實上, 想要維持永遠的榮景, 並不是那麼容易的. 一國的強, 就是他國的弱. 羅馬帝國, 奧匈帝國, 秦漢唐元不都滅了嗎? 贏家一直贏的可能性很低, 只是 "一直" 代表多久沒有人知道.

以上整理自 "Against the Gods", 第 9 章, 第 10 章.