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高爾頓其人其事

法蘭西斯·高爾頓（Francis Galton) 這個人, 就是發表進化論的那個達爾文的表弟. 我們在 wiki 可以查到他的生平, 所以他也可以稱得上是一號人物, 他的貢獻是在優生學方面.

據說高爾頓對於數字有偏執性的愛好, 無論是什麼東西, 他都想要取得相關的數據. 甚至於他的口袋就有兩張卡片, 如果在路上遇見正妞, 就在左邊口袋的卡片打個洞, 若是遇見恐龍妹, 就在右邊口袋的卡片打個洞. 根據這個統計數據, 他 "發現" 倫敦的女人分數最高, 亞伯丁的女人其貌最寢~~~總之, 他酷愛數字, 為了測量一位難以接近的非洲美女的三圍, 還會動用三角函數, 皮尺與六分儀, 總之他非要知道具體數字不可.

雖然前面的這些敘述, 讓這位古怪的高爾頓先生看起來像是個維多利亞時代的登徒子, 不過收集這些數字對他來說純粹只是因為好奇. 他對所有的數字都感到興趣, 因而做了許許多多的實驗與統計. 分析這些數字之後, 常態分佈與趨均回歸就在其中矣! 因此高爾頓先生其實是一位學者. 

在高爾頓之前, 在這個方面最有成就的是比利時人凱特爾 (Lambert Adolphe Jacques Quetelet). 凱特爾喜歡研究社會現象與機率, 出版過一本 "論人類及其才能的發展", 這本書討論人的才能, 並且用法文的社會生理" (physique social) 來詮釋才能這個名詞. 凱特爾進一步認為, 如果統計一整個社會所有人的特性, 就會得到一個 "平均人" (average man), 這個平均人跨越性別, 種族與年紀, 代表這個社會的平均值.

即便本土正港台灣人可能不屑於與外來的政權的外省人平均在一起, 但是在這個分裂的台灣, 還是曾經有一個代表性的人物叫做 "李表哥", 他和 "山姆大叔" 代表美國人一樣, 是個由漫畫家勞瑞操刀的 "平均人". 另一方面, 由於硬是要指稱所有的社會都是常態分布的確是有點矯枉過正, 因此與凱特爾同一時期的庫爾諾 (Antoine-Augustin Cournot) 就大力地反對這個觀念.

高爾頓繼承了凱特爾的觀念, 認為凡事都屬常態分布. 此外, 他特別注重於極端的狀況. 因此他在他最重要的著作 "遺傳天賦" (Hereditary Genius) 一書當中, 就估計過天才的百分比. 大致上,  他認為已過中年的英國人, 每 4~5 千個人當中, 有一個人可以擁有傑出的評價. 相反地, 每 400 個人當中, 就有一個白癡. (假如大家都同意常態分布是對稱的, 那麼白癡的標準未免也太寬鬆了…呵呵呵). 這個天才與白癡的觀念, 影響後世相當大, 後來甚至被拿來當作種族滅絕的藉口.

高爾頓的實驗證明, 常態分佈無所不在. 無論是鋼珠的分佈, 甚至於是已分佈鋼珠的再重新掉落一次, 落點仍然是常態分佈. 但如果僅僅是重新證明一次常態分佈, 那麼高爾頓不過是凱特爾第二, , 高斯第三, 或是第四個棣美弗; 高爾頓比前人更突破的地方在於他發現了趨均回歸. 

什麼是趨均回歸呢? 它有一點點 "平均人" 的味道. 就以七類大小不同的豌豆為例, 每一種都有十個樣本. 但是到了它們的子代, 大豌豆的小孩雖大, 但沒那麼大了, 小豌豆的小孩雖小, 但也沒那麼小了. 過於懸殊的 "天才豌豆" 和 "白癡豌豆" 並沒有完全重現在下一代. 這表示特例並不那麼容易重現, 或許要多做幾次實驗, 才可以再看到特大豌豆出現, 甚至它的親代並不是特大豌豆, 而是個大豌豆而已.

豌豆直徑 in 1% 吋
親代 15 16 17 18 19 20 21
子代 15.4 15.7 16 16.3 16.6 17 17.3

 

最近辦公室裏面多了很多新手爸爸, 新手媽媽, 準爸爸與準媽媽. 大家對於下一代可能都有所期許, 不過高爾頓的實驗告訴大家不要想太多, 一切都是命啊! 高個爸爸與高個媽媽生出的孩子大致上是個高個子, 但是依據趨均回歸, 這孩子並不見得會比爸媽都高. 若是多生幾個的話, 倒是有很大的機會生出個長人來! 同樣地若是各位的身高在兄弟姊妹中是比較矮的, 那麼到了子代就有較大的機會生出比自己高的子女. 當然, 現在的小孩營養愈來愈好, 還是要額外加個幾公分, 算是考慮到近來營養與健康上的進步. 

"Against the Gods" 為何從討論機率, 變成討論優生學了呢? 主要是因為股市也有趨均回歸. 大家都說漲多必跌, 有什麼理論根據嗎? 有的, 那就是趨均回歸. 股市加權指數就像現代人的身高一樣節節高升. 日本人的身高在第二次世界大戰後大幅地上揚幾十公分, 一如美國道瓊工業指數從幾百點變成了幾萬點. 然而, 道瓊工業指數有條件漲到百萬點嗎? 我想那和日本人平均身高變成 2 公尺一樣遙不可及.

趨均回歸是我們考慮風險時, 不能忘記的一個因素. 巴菲特, 葛拉漢其實都是趨均回歸的奉行者, 被低估的總有一天會獲得平反. 不只是單一的股票, 連投資組合, 或是一整個國家都難逃趨均回歸的魔咒. 大家也許會痛罵政府無能, 讓台灣的經濟奇蹟變成過往雲煙. 事實上, 想要維持永遠的榮景, 並不是那麼容易的. 一國的強, 就是他國的弱. 羅馬帝國, 奧匈帝國, 秦漢唐元不都滅了嗎? 贏家一直贏的可能性很低, 只是 "一直" 代表多久沒有人知道.

以上整理自 "Against the Gods", 第 9 章, 第 10 章.

 

伯努利一族

說到伯努利 (Bernoulli), 大家一定都難忘 "白努力" 原理, 我這次就是要講這位伯努利. 其實伯努利一家可說是一門忠烈, 充分展現出優良的遺傳血統.

Nicolaus Bernoulli 三代家譜

Jacob (猜測的藝術)

書中提出大數法則

 Nicolaus I  Johann
Nicolaus III

Daniel (新理論)

提出伯努利原理

  Nicolaus II  

與葛朗特, 佩蒂, 哈雷同期, 波爾羅亞 (Port-Royal) 出版了一本 "邏輯". 主張做決定時不在乎機率, 只顧慮後果的人, 想必對於風險懷有病態的恐懼. 而伯努利家的成員丹尼爾伯努利 (Daniel) 在 "新理論" 一書中, 反過來強調, 如果只考慮機率, 而不考慮後果, 那才叫做有用無謀. 換言之, 事件的後果和風險的高低, 分別為兩種衡量事情的標準.

伯努利相當反對 "期望值" 這件事, 他認為應該強調 "效用"; 因為機率是一種數學, 但是人就是人. 在一架遭遇亂流的飛機中, 會不會活下去可以用機率去描述, 但是緊不緊張是另外一件事, 甚至還有人在呼呼大睡呢! 因此伯努利不認為機率應該決定我們的行為.

伯努利說: "財富小量增加所產生的效用跟原來擁有的財富數量成反比." 這個立論在後來被很多人反對, 但是它就是 "彼得堡矛盾" (Petersburg Paradox) 問題的文字版. Nicolaus III Bernolli 最早提出這個問題, 他假設有甲乙兩個人賭博, 甲丟一枚銅板, 直到出現正面為止. 若第一次就出現正面, 甲給乙 1 元, 第二次才出現正面, 甲給乙 2 元, 第三次就是 4 元, 第 N 次才出現正面, 甲就要給乙 2N-1 元. 看起來乙絕對是贏家, 說不定可以變成億萬富翁; 但是你願意用多少錢來買乙的權利呢? Daniel Bernolli 說, 雖然這個賭局中, 乙的財富可能無上限, 但是考慮到機率, 有人願意花 20 塊來買就應該要很高興了.

根據機率,  乙的期望值是贏取 1/2 x 1 + 1/4 x 2 + 1/8 x 4 + ….+1/2k 元, 勉強算是 1 元吧! 你我都可以想像: 甲連續失手 50 次, 使得乙可以贏得 1,000 兆的美夢, 其實是有點不切實際的. 至於甲失手 1,000 次可以帶給乙多大的財富, 其實對乙已經沒差了,  反正就是天文數字, 不至於因為那個期望而更加地熱血! 另一方面, 有人會花錢買乙的權利, 有些人則不會, 一般人決定要不要買彩券的心理也是如此.

伯努利所講的效用, 可以衍生為效用遞減的理論. 也是後來維多利亞時代供需法則 (the Law of Demand and Supply) 的基礎, 提出這理論的經濟學家是馬歇爾 (Alfred Marshall).

談完兒子再來談老爸 Jacob Bernoulli, 既然有大數法則掛在他的名下, 大家應該知道這位老兄對機率有著驚人的貢獻. Jacob 在 1703 年的時候, 正在思考用少數樣本 (先驗機率) 來推算機率的問題. 請注意, 以前的骰子問題都是先有機率模型, 然後評估每一個事件發生的機率.  而 Jacob 則反過來看待這個問題. Jacob  因為自己想不通, 就寫信給萊布尼茲求教. 他說: 我們知道擲兩粒骰子的時候, 出現 7 的機率比出現 8 的機率高, 卻無法知道一名二十歲男子的壽命是否會比一個六十歲的老人長, 實在是不可思議. 萊布尼茲回信認為: 有限的樣本, 不可能推導出甚麼結論, 就算是有結論, 也並非每件事都能符合, 只有大部分如此.

看似潑冷水的回覆, 其實給了 Jacob 一個方向. 那就是並不需要強求精準, 只要大致上符合就好了. 即使擲無限次的銅板, 正反面的機率也不保證是 1/2, 只是誤差比較小而已. Jacob 說, 假如有一個罐子裡面有 3,000 顆白石頭與 2,000 顆黑石頭, 只要反覆地從罐子裡面拿石頭出來 (看完還要丟回去), 大致就可以得到白石頭與黑石頭為 3:2 比例的結論. 若是拿個 25,550 次, 將有 1000/10001 的機率, 發現兩色石頭的比例在 3:2 的 2% 誤差以內. 這是首次有人訂出 "幾乎可確定為必然" 的標準.

Nicolaus II (綽號慢半拍, Nicolaus the Slow) 後來繼續 Jacob 的研究, 他的研究方法和伯父是互補的. 他專門研究在特定的誤差下, 應該要取樣幾次. 換言之, 觀察次數和誤差是可以互換的. 比方說新生兒中男女嬰的比例是 18:17, 但也有 43.58:1 的機會, 實際出生的男嬰和期望值有正負 163/7200 的出入. 經由伯努利一族的發揚光大, 機率又往前進了一步.

本文整理自 "Against the Gods" 第六章, 第七章.

 

壽險精算業的祖師爺

在 “Against the Gods" 一書的第五章, 主要是介紹統計. 幾位 “無名英雄" 和意想不到的 “名人" 同台登場.

首先出場的是, 以鈕扣商人的身分加入英國皇家學會的葛朗特 (John Graunt). 他的主要事蹟是在業餘的時候寫了一本書 “根據死亡率所做的自然與政治觀察", 裡面研究了 1603~1661 (?) 年倫敦的出生率與死亡率. 他採用倫敦市政府從  1603 年開始記錄的每週數據, 再加上教會保管的出生與死亡資料, 以抽樣的方法來估計人口. 因為數字來自於政府 (state), 所以統計學後來就叫做 statistic.

葛朗特認為這些數據可以讓商業與政府更穩定. “擁有這樣的知識,…., 就知道這些人消費的數量,  不至於做出乖離事實的預估. " 這個前瞻性的想法, 使得葛朗特也被尊為市場研究之父.  牽涉到經濟與政治之後, 原本枯燥乏味的統計書就變成治國經商的藍圖了.

這本書出版的時間點, 正好是英國由農業社會轉型為發展私有財產與海外貿易的關鍵期. 原本的地主只需要依土地的面積和收成來納稅, 人口多少根本無關緊要. 但是進入需要役男的時代後, 到底有多少人口就至為重要了! 本書大賣 5 版, 使得葛朗特的大名引起廣泛的注意.

現代經濟學之父的佩蒂 (看起來很像女生, 但是他是男的, 著有 “政治算術" 一書) 在巴黎的 “知識期刊" 上發表這本書的書評,  進一步啟發了法國人也做類似的研究. 英王查理二世還特別欽點葛朗特加入皇家學會, 並且對於那些不滿小商人變成 “中研院院士" 的其他學會成員下令: “如果還能找到其他類似的小生意人, 都要讓他們入會, 不許囉嗦!" 看來這位英王相當地有趣, 難怪人稱快樂王 (Merry Monarchy). 當然, 查理二世也做過一些不得人心的事, 比方說強制關閉咖啡館, 避免大家議論國事. 但 16 天後礙於民意又取消了.

葛朗特統計的年代, 歐洲正在流行瘟疫. 以 1603 年為例, 就有 82% 的人死因是瘟疫. 另外 36% 的小孩會在 6 歲前夭折, 我想這是後來流行辦慶生派對的原因, 能活下來真的不容易. 葛朗特最大的貢獻不是在與整理已經知道的事情, 而是推估與建議. 他認為: 急性流行病可能因氣候, 食物引起, 應由政府設法管制. 餓死的人很少, 但是市區內乞丐氾濫成災, 這些乞丐看起來大多健康強壯, 所以他建議政府要加以干預, 把這些乞丐依個人的條件和能力加以訓練, 讓他們自食其力.

葛朗特也知道自己的數據不完整, 所以他做了一些假設. 在倫敦市每年出生 12,000 人的前提下, 假設每戶有 8 個人 (包括僕役), 每兩戶有一個婦女達到可生育的年齡, 因此算出倫敦市應該有 384,000 人 (12,000 x 2 x 8). 另外, 他也用倫敦地圖和每人生存面積來推估出倫敦市應該有 47,520 戶人家來印證第一個方法沒有太偏差. 而當時大家普遍相信倫敦有 200 萬人, 所以就算葛朗特的數據不夠準, 也已經大幅修正了大家 “認為" 的人口數. 

另一方面, 葛朗特依照 36% 的小孩活不過 6 歲, 一般人都活不過 75 歲的資訊, 編列了一個 6~76 歲的餘命表, 而初生嬰兒的壽命期望值是 16 歲. “古人" 真是可憐啊! 這也凸顯出中國的戶部尚書不愛數學. 為何中國就沒有統計數字可以流傳到後世, 難道…因為那是國家機密的關係嗎?

講完了英法, 再講德國. 研究德國人口的是一個英國人 – 哈雷 (Edmund Halley), 沒錯, 就是命名哈雷彗星的天文學家哈雷. 當時德國有一個叫做努曼 (Casper Naumann) 的神職人員, 他的教區有一種迷信, 認為月亮週期和健康有週期性的關係. 為了破除這種不符合教義的說法, 努曼找數學家萊布尼茲幫他的忙. 萊布尼茲把報告轉給倫敦皇家學家, 因此引起頂尖天文學家, 35 歲的哈雷的注意 (大概是牽扯到天體運動吧?)

哈雷是個神童, 還沒念完牛津, 就帶著他的 24 吋望遠鏡去南半球研究天空, 不到 20 歲就名滿全國. 22 歲的時候, 哈雷就加入皇家學會. 1721 年國王下令頒給他學位, 不過他在 1703 年就在牛津當教授了.

哈雷研究了德國小鎮的人口, 同樣做了一張餘命表, 並且算出該服役的人口數為 1/34. 比葛朗特更進一步的是, 他計算出同一個年齡層的一群人,  在一年內死亡的機率. 比方說 25 歲的有 567 人, 但是 26 歲的人只有 560 人, 因此 25 歲的人有 7/567 活不到明年生日. 哈雷順便幫保險公司計算了保費對照表, 完成了社會期待已久的傑作.

早在西元 225 年羅馬人就有年金保險的記錄了, 而保險的歷史更可以追溯到西元前 1800 年的 “漢摩拉比法典" (Code of Hammurabi), 當中有 282 則條文與船舶的保險有關. 但是保費應該怎麼收呢? 一千多年來, 唯一的依據似乎就是羅馬法律學者烏爾比安 (Ulpian) 的壽命預測表. 葛朗特和哈雷的研究啟發了當代的保險業者, 使得保險業在那個年代蓬勃發展.

17 世紀後半期, 正是英國與荷蘭爭霸於海上的時期. 兩國為了籌措軍費, 相繼地以年金保險的形式向全民舉債. 英國政府繼 1504 年賣過 7 年還本的年金保險之後, 又在 1693 年推出 14 年還本的一百萬英鎊的年金保險. 雖然他們這次已經運用了平均壽命有 14 歲這項資訊. 但是英國政府對於買保單的人, 不論被保險人幾歲都是統一定價. 因此這些保單不但沒有充實國庫, 反變成政府驚人的龐大債務. “依據被保險人的年齡來為保單定價" 這個觀念, 據說到了 1789 年才反映到英國政府的新保險年金之中.

民間的保險業者似乎比政府更加地積極, 自1637 年英國的卡諾皮亞斯 (Canopius) 喝了第一口咖啡之後, 各地迅速開起了許多咖啡館. 這些咖啡館除了提供, 在 “創世紀" (Ultima) 遊戲中, 供勇者打聽情報的功能之外, 就是給保險經紀人賣保險了. 1720 年, 兩家保險公司甚至送給英王喬治一世 30 萬英鎊的賄款, 使他們變成具有獨佔權的保險公司.

1771 年, 獨佔權大概是失效了. 經常聚集在勞埃咖啡館 (Lloyd’s) 的保險經紀人, 自己聚資成立有點像是會員制的保險公司 – 勞埃協會 (Society of Lloyd’s), 以個人的身家來為客戶擔保. 後來勞埃也發展成史上最著名的保險公司之一, 由此可見咖啡館和保險業真的極有淵源.

最近景氣變差之後, 保險經紀人除了轉戰不用錢的大賣場或是公司 lobby 談合約之外, 做生意的手法並沒有太大的變化. 依然是拿大部分人的保險費, 去付給自己, 以及少數真正被理賠的人. 古今的差異, 應該在於業者有了充分的數據做為後盾, 再也不可能像英國政府一樣做賠本生意了. 買彩券的期望值是負的, 買保險也是; 前者在活的時候還用得到, 後者要死了以後才能 “用到" 喔! 

哈雷的研究, 啟發了後來的棣美弗 (Abraham de Moivre). 他在 1725 年出版了一本 “人壽保險", 討論一個被伯努利 (Bernoulli) 分析過的問題. 既然哈雷可以用一個小鎮的樣本, 來說明 346 個 50 歲的人, 其中只有 152 個人活到 70 歲 (41%), 那麼世界上所有的城鎮, 都可以用 41% 來推算嗎? 如果實際上的值是 50%, 那麼因為樣本數過少, 而導致獲得 41% 這個結論的機率有多高?

基於伯努利一族的研究, 棣美弗發現了常態曲線. 也就是估計很偏差的機會不是沒有, 但是機率小得很多. 這個模型就像是一個鐘形,  在標準差之內的狀況經常被重現 (68%), 而 95% 的觀察會落在兩個標準差之內. 這個發現使得棣美弗感到 “開悟", 因此稱之為 “神的計畫“. 棣美弗的重要著作還包括: “抽籤計算法", 後來改名為"機會論".

在研讀棣美弗的論文之後, 皇家學會的一名會士普萊斯 (Richard Price) 也寫了兩篇論文, 後來的一篇據說使得他的頭髮一夜間變白. 1771 年, 普萊斯的著作正式發表, 書名是 “保險金償付論". 這部著作使他贏得精算學(actuarial science) 始祖的頭銜. 至於只研究機率, 卻沒和保險業扯上關係的數學家當然還是大有人在. 比方說我們唸模式識別  (pattern recognition) 一定要讀的貝氏理論 (Bayes’ Theorem) 的貝氏就把遺產捐贈給和他一樣研究統計, 聲譽甚佳的普萊斯.

貝氏的研究主題是: 一個事件發生的機率有多少? 假設抽樣 10 萬根針,  發現了 12 根有瑕疵,  而平均的瑕疵率是萬分之一,  有多少機率這 12 根的出錯是 “正常的" 呢? 貝氏也皇家學會的成員, 但是世人對他了解不多. 我只知道他留下了很多的公式…

在 “Against the Gods" 的第七章, 舉了一個貝氏計算的例子. 根據我修過但不是太優的 pattern recognition 基礎, 我覺得作者的舉例是錯的. 需要使用的公式並不神秘, 就是 P(A|B) x P(B) = P(B|A) x P(A), 兩家工廠的事後機率似乎不可能被扳回那麼多成. 有興趣的人可以幫我驗證一下, 謝謝!

[圖片遺失]

賭徒列傳

要講賭徒, 先要有講賭具. 警察在抓賭博的時候, 就是要找到賭具和賭資, 才能夠將一干賭徒定罪! 簡單又有公信力的賭具, 應該非骰子莫屬了.

骰子怎麼來的呢? 在希臘人的時代, 他們就懂得用牛距骨製成的骰子來比大小了…牛距骨是個長方體, 寬的一面是 3 和 4, 窄的一面是 1 和 6. 雖然加起來都是 7, 但是現代的小朋友都知道 3 和 4 出現的機率高於 1 和 7, 而希臘人好像不知道? 總之, 他們一次擲 4 個骰子, 若是出現 1,3,4,6 四個不同的數字, 就是最大的一把, 稱之為維納斯 (Venus), 所以本部門的第一顆 IC Venus 的編號其實也可以叫做 1643 之類的. 然而, 因為古人不懂得機率, 並沒有把機率和 Venus 更低的 4 個 1 或是 4 個 6 當作 "勝投" !

達文西曾經向不太知名的帕契歐里 (Luca Paccioli) 請教平方根的乘法與 99 乘法表, 可見得帕契歐里在當時的數學界算是厲害的人物, 而且據此看來達文西不可能發明時光機器. 言歸正傳, 帕契歐里寫了一本 "算術大全", 裡面提到了這個問題: "甲乙兩人玩丟骰子, 並且協議先贏 6 把的人獲勝; 結果就在甲贏 5 把, 乙贏 3 把的時候, 遊戲不得已結束了, 試問彩金要如何分配?"

這個命題從 1494 年這本書出版到 1654 年左右都沒有正確的解答. 巴斯卡應該是第一個正確分析這個問題的西方人, 中國數學家朱世傑在 1303 年已經用 "四元玉鑑" 解過這類問題, 而阿拉伯數學家伽音更是比巴斯卡早了 450 年. 由此可見, 機率甚至於排列組合的觀念, 其實很晚才出現在西方世界. 雖然他們早就開始賭博了, 連希臘神話的宙斯, 波賽頓, 黑帝斯都是用擲骰子來分配天堂, 海洋與地獄管轄權的. 真正把賭博當作一門學問的人, 就是本文的男主角 – 卡達諾醫生 (Cirolamo Cardano).

卡達諾生於 1500 年左右, 天性非常好賭, 著有 "大術" (討論代數), "賭博手冊" 等 300 本書. 1540 年, 加號和減號才發明, 1557 年等號才出現 (因為發明人認為 "沒有比兩條平行線更對等的東西"), 因此, 卡達諾的數學能力相當了得, 他不僅僅是一個賭鬼, 也會解 3 次方程式與開負數的平方根喔! 連採用 a, b, c 來寫方程式都是他的創舉.

在 "賭博手冊" 一書中, 卡達諾第一次把機率這個概念和賭博的理論整合. 亦即以分數來表示某個骰子或樸克牌出現的機率 – 在多少次活動中, 應該出現多少次結果. 據說每天都在賭博的卡達諾, 開啟了機率分析的大門. 擲兩個骰子, 出現 7 點的機率比 5 點或 6 點都高, 這件事其實古人並不曉得. 唯有好賭的卡達諾會認真研究這件事, 並且寫成書來傳世.

或許大家以前都沒聽過卡達諾這號人物, 但是很多人應該都知道中國的四大發明, 這四大發明就是見聞廣博的卡達諾所歸納出來的喔! 身為賭徒, 數學家, 名醫, 探險家的卡達諾一生過得相當精采, 只不過死得不太好, 據說他花錢無度, 被人砍掉右手的全部手指 (要戒賭?), 而且 43 歲就被毒死了. 

接下卡達諾棒子的大師是名人伽利略, 他寫過一篇論文叫做 "擲骰子論". 因為這是供養他的圖斯卡尼大公命令他寫的, 他以義大利文寫就, 而不是標準的拉丁文, 表示這難登大雅之堂. 至於這篇論文的內容,  則是大量引用 "賭博手冊". 經過名人的印證, 機率的觀念在這篇論文寫就的 1623 年, 已經正式成為數學家的共識了.

1623 年巴斯卡 (Blasise Pascal) 誕生, 他是天生的數學家. 據說他在少年時代就發明了能夠做加減法的機械式計算機. 巴斯卡的一生其實相當神奇, 他幾度閉關修行, 號稱忘記了數學是什麼東西? 不過在他與另外一位法國貴族兼賭徒傑米爾 (Chevalier de Mere) 的交會之中, 終於解決了帕契歐里陳年的賭資分配難題. 傑米爾用這個題目像巴斯卡挑戰, 而巴斯卡又求助於費瑪 (Pierre de Fermat), 他們聯手合作, 開啟了新局.

傑米爾是一個有名的賭徒. 他率先算出連續擲一枚骰子 4 次, 出現 6 點的機率大於 5 成 (1/6 + 5/6×1/6 + (5/6)2x1/6+(5/6)3 x 1/6 = 51.77%). 因此, 他只要一直押 6, 就會神奇地贏錢, 而別人還莫名其妙, 以為他有賭神附身! 後來他改賭兩顆骰子, 以為賭兩個 6, 在 24 次擲骰中也是一樣的勝率, 結果輸了一大筆錢. 後來他痛定思痛, 重新算出這樣的勝率是 49.14%, 要擲到第 25 把才有 50.55% 的勝率.

而費瑪的職業是律師, 並且為西元前 250 年亞歷山大港的數學家丟番圖 (Diophantus) 而寫了一本 "算術" (Arithmetic). 算術這本書裡面有個 x4+y4+z4 = u2 的式子, 費瑪在註腳裡面自問自答: "為什麼丟番圖不用兩個數字的四次方, 使它們的和為另一個數的平方? 因為做不到, 我可以精密證明. 我發現這個命題有很棒的證明, 但書上的空白太窄了, 無法把它寫出來." 這就是有名的費瑪最後定理. 畢達哥拉斯證明直角三角形斜邊的平方是另外兩邊平方的和,  但三次方以上就不存在這種關係. 

搞定了帕契歐里賭資分配問題後, 巴斯卡的人生也進入了賭局. 他進入巴黎的波爾羅亞修道院, 並且些了一本 "沉思錄". 其中的一篇 "巴斯卡的賭注" (le pair de Pascal) 問道: "上帝存在, 或不存在. 我們應該選擇哪一邊? 理性無法答覆." 事實上, 巴斯卡選擇安全牌, 也就是決定信神! 聰明的巴斯卡建立了巴黎的第一條商業公車路線, 因此錢對他來說絕對不是問題. 他要追尋的是永生吧! 他把錢捐給修道院, 然後和修道院的其他修士, 寫成了重要的著作 "邏輯" (又名思考的藝術).

這本書, 共同作者據信包括阿爾諾 (Antoine Arnauld), 主要討論機率, 並且指出在 10 人賭局中,  "輸一枚銅板的機會為 9, 贏 9 枚銅板的機會為 1". 本書說這是有史以來, 用數字計算機率, 見諸文字的第一次. (我很好奇卡達諾難道都是用文字表示機率的嗎? 哈!) 本書的另外一句話可能更為經典: "對傷害的恐懼不僅跟傷害的嚴重性成正比, 也跟受傷的機率成正比." 大家都怕死, 但人只會死一次, 所以也有人不怕~~~

[note] 本篇整理自 Against the Gods 第三第四章.

[note2] 對了! 關於帕契歐里賭資分配問題的正確解答, 現在連報社記者都會算了, 所以我忘了解釋. 獅象打 7 戰四勝的總冠軍戰, 打完 5 場之後, 象贏了 3 場, 獅贏了 2 場, 賭盤怎麼開? 用巴斯卡三角形來解釋, 就是把還沒打的場次 2 場, 用 22 = 4, 去找相加等於 4 的那列巴斯卡三角形來展開:

1  2  1

= 象象  象獅 or 獅象 獅獅

未來象連贏兩場的機率是 1/4, 象獅各 1 勝的機率是 2/4, 獅隊連趕兩場的機率是 1/4. 而象隊已經贏 3 場了, 所以只要先贏一場就不必打第二場. 因此象對獅的賭盤是 (1+2) : 1 = 3:1.

雖然象獅誰先再勝一場意義不同, 好像不應該混為一談. 但是 "1 2 1" 的 "2" 表示已經預知雙方各一勝, 因此這個數字歸象隊所有.

這個問題用巴斯卡三角形來看似乎小題大作, 但是若用 7 戰 4 勝制, 獅先贏 1 場來給大家分析賭盤, 恐怕很多人就沒辦法反應過來了. 因此把數學方法找出來才能舉一反 N.

 

我讀 «該恐懼? 還是該貪婪?» (下)

6. 彼得.林區

6.1 投資策略: 研究基本面, 挑出成長型股票. 記得要賣.

6.2 著作: 彼得林區選股策略, 征服股海

6.3 善行: 彼得林區基金會, 城市年活動.

6.4 投資故事: 從 1977/5/31~1990/5/31 管理麥哲倫基金 13 年, 創造 28 倍的投資報酬率. (投資人扣掉手續費後, 實得 31 倍).

6.5 投資建議:

1. 別把香花連根拔起, 卻為毒草澆水施肥.

2. 要像業餘投資人一樣思考, 只要看緊 5~10 檔股票就夠了.

3. 好股就在你身邊, 出產暢銷商品的公司就是投資標的.

4. 不買互相廝殺的對手, 要買供應子彈讓別人火拼的公司. 這可以解釋為何莫比爾斯買正新輪胎.

5. 政府公債殖利率高出標準普爾殖利率 6% 以上時, 賣股票, 買債券.

6. 一檔股票就是一個故事, 故事說完之後, 股票就該賣了.

7. 不要聽信股市專家的話去從事波段操作, 很難準兩次以上.

8. 兩個原則:

(1) 要受得住壓力. 黎明前是最黑暗的.

(2) 換股別太頻繁. 即使是麥哲倫基金, 持有一年大概會虧 17%. 但是, 但長期是大賺.
台灣富達集團的整理:

1. 了解資金的使用期限與風險忍受程度.

2. 投資前先透過模擬投資練習操作技巧.

3. 投資你了解的企業.

4. 清楚期待多少報酬, 不要怕市場變化.

 7. 約翰.伯格

7.1 投資策略: 指數型基金

7.2 著作: 學士論文: “投資公司在經濟上的角色", 說明共同基金不能宣稱績效勝過大盤指數.

7.3 投資故事: 先鋒指數型基金是世界上最大的基金, 資產 700 億美元 (20076/1/M). 15 年間, 平均成長每年複合成長 31%.

7.4 投資建議: 買 ETF, 不要讓公同基金賺走你的錢.

1. 風險無法逃避. 一旦投資就要面對風險.

2. 要買的對, 抱得緊.

在股債之間取得平衡, 符合下面條件者可以多配置股票:

(1) 還可以活很久.

(2) 投下去的資金很少.

(3) 日常開銷很低.

(4) 有勇氣能熬過大起大落.

3. 時間是朋友, 衝動是敵人.

4. 期望要務實, 要成長或是拿股利得先想清楚. 未來 10 年的投資報酬率會遠低於過去 20 年.

5. 別在草堆李找一根針, 要把整個草堆買下來.

在過去 50 年中, 值得長抱 29 年的 (美國) 成長股只有 4%, 值得抱 10 年的只有 15%, 只能抱 3 年的成長股也只有 50%. 股神巴菲特選中的股票也只有 60% 可以成長 5 年. 因此, 不能鬧自己挑股票, 要買下大盤, 也就是指數型基金.

6. 別讓莊家抽走太多錢.

7. 別打上一場戰爭. 這是指熱潮過了才投入科技股, 股市已經暴跌了才想買債券等等.

8. 牛頓的復仇: 牛頓會計算天體的運動, 卻不會計算人類的瘋狂. 他在股市中賠了大筆的積蓄, 因為忽視了股市的萬有引力.

9. 刺猬勝過狐狸: 簡單是長期投資成功的基礎, 就像是刺猬只要會一招就夠了.

10.  投資的秘密是沒有秘密. 只要擁有整個股市就對了.

 

8. 麥可.普萊斯

8.1 投資策略: 價值型選股, 掌握公司經營權, 逼退能力差的老闆, 清算公司.

8.2 投資故事: 管理共同基金, 在 20 年中成長為 2,600 倍!

8.3 投資建議:

1. 股價低於淨值的 6 成以下.

2. 公司經營階層與經理人持股愈高愈好.

3. 資產負債表乾乾淨靜, 負債比例愈低愈好.

<– 普萊斯喜歡媒人疼愛的小型破產, 清算, 重整, 合併, 分拆, 併購目標, 融資併購目標, 周轉不靈, 股價偏低的公司.

9. 羅伯森

9.1 投資策略: 避險基金, 偏值型投資, 2000 年也沒有買科技股. 買全世界最好的 200 家, 也放空全世界最差的 200 家.

9.2 投資故事: 1980~1997 年之間, 羅伯森的老虎避險基金, 成長為 139 倍.

9.3 投資建議:

1. 堅持基本面.

2. 收起水晶球, 不要嘗試波段操作.

3. 放眼全球, 要跨越國界.

4. 迅速停損.

5. 區隔青蛙與王子. 大家把青蛙當王子, 你要放空青蛙.

6. 徹底研究, 投下巨額資金.

 

9.4 敗筆: 羅伯森後來想要像索羅斯一樣玩總體經濟, 但是他本人不擅長這方面, 而且他喜歡獨占功勞, 所以高手紛紛離開. 最後, 老虎基金變成病貓. 但即使是在老虎基金收山的時候, 扣掉管理費, 平均年報酬率仍然達到 31%.

10. 馬克. 莫比爾斯

10.1 投資策略: 新興市場. 崩盤時買進. 平均持股 5 年. 後來轉向價值型投資.

10.2 著作: 投資護照.

10.3 投資故事: 坦柏頓新興市場基金.

10.4 投資建議

1. 耐心投資 5 年.

2. 如果股價跌 20% 或是重挫, 投資價值浮現時, 趕快建立部位.

3. 如果大盤劇跌, 但是基本面不變, 立刻由續抱改為買進.

4. 在市場最悲觀的時候進場, 在市場最樂觀的時候出場.

5. 下跌的市場終究會回升, 有耐心就不會恐慌.

6. 把新興市場貨幣波動的不利因素, 變成潛在的獲利機會. 預期貨幣即將貶值時, 莫比爾斯也不會買外幣, 而是買出口導向的企業, 賺進強勢貨幣. 他稱此為自然避險.

7. 新興市場金融風暴中, 最先遭受打擊的國家通常也最先復甦.

8. 低檔時要勇於買進, 創造最大的漲幅.

9. 選擇投資標的不能只靠技術分析, 必須以現場調查. 莫比爾斯這次來台灣看的企業, 應該就是他想投資的標的吧! 他有去看 MTK 喔! 不知買了沒？

10. 想從快速經濟成長中獲利, 必須投資新興市場國家. 利用政經不確定性, 打進新興市場. 不確定變成確定時, 考慮出場.

 

11. 吉姆. 羅傑斯 

11.1 投資策略: 總體經濟, 他和索羅斯曾經是量子基金的搭檔.

11.2 著作: 投資大師羅傑斯給女兒的十二封信, 全球投資漫談, 資本家的冒險.

11.3 投資故事: 號稱旅行投資家, 擁有單次環球旅行 24.44 萬公里的世界紀錄.

11.4 投資建議:

1. 運用常識, 投資商品 (原物料).

2. 投資中國.

3. 耐心等待最佳買賣時間, 不必時時操作.

4. 彈性全球投資.

5. 擴大視野, 尋找機會, 不要只會一種把戲 (股票, 原物料等等).

6. 研讀歷史, 運用基本面, 不用技術分析與技術圖表.

7. 看長不看短.

8. 街上血跡斑斑的時候入市. 電視主播興高采烈時退出.

12. 比爾.米勒

12.1 投資策略: 價值型投資偏成長性, 三低策略: 大眾持股低, 受歡迎程度低, 評價低的股票.

12.2 投資故事: 雷格梅森價值信託基金連續 15 年績效超過標準普爾指數 (1991~2005), 賺了 8 倍. 但是米勒的價值型投資和其他人不一樣, 他更看重未來性, 因此他亞馬遜和 Google 的大股東. 在科技股中尋找價值型投資的股票.

12.3 投資建議

1. 奉行價值型投資, 特別重視現金流量折現.

2. 投資組合兼容並蓄, 包括循環性定價錯誤的價值股, 與長期訂價錯誤的成長股.

3. 極力向下攤平

4. 平均持股 7 年.

5. 買進, 抱緊!

6. 讓創造優異績效的好股票繼續表現, 換言之, 就是不要賣.

7. 承受低風險, 集中投資, 大膽下注. 在他的基金當中, 總共也只有 40 持股.

 

本書的作者是陳柏宏, 所以本書並不是翻譯書, 而是國人原創的. 作者說自己台大外文系畢業, 服務於財經媒體達 20 年以上, 子女出國念書的費用都是由股市賺來的. 呵呵!