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風險與不確定性

風險 (risk) 與不確定性 (uncertainty) 最初被大家認為是一樣的東西, 直到奈特明確地在他的博士論文 (後來變成 "風險不確定性與利潤" 一書) 中指出其中的差異. 所謂的風險是指可以度量的不確定性, 而不能度量的就是不確定性啦!

凱因斯雖然和奈特沒有私交, 甚至有些齟齬, 但是他的觀點也相當類似. 在機率論 (A Treatise on Probability) 一書當中, 凱因斯表達了對於依據機率做決策感到不耐. 他反對用過去發生的機率來決定我們該做什麼? 也討厭用事件 (event)  一詞,  因為他認為 "事件" 隱含了將會計算其發生頻率. 凱因斯認為我們應該注重不確定性, 更甚於古典經濟學的統計的數據.

什麼是不確定性呢? 那就是 "其他人在想什麼?" 假如我們知道別人在想什麼? 或是我們以為我們知道, 那麼我們會做什麼呢? 這就是 "賽局理論" 啦! 馮.諾伊曼 (John von Neumann) 據說是賽局理論的發明人, 而我們都知道納許 (John Nash) 以賽局理論中的納許均衡 (Nash Equilibrium) 得到了諾貝爾獎, 這是因為納許進一步地解釋了賽局的結果 – 穩定但是不如人意.

為了避開風險, 一般人寧可做出次佳的選擇. 但是, 人類其實會追求風險. 在威廉斯 (John Burr Williams) 的 "投資價值論" (The Theory of Investment Value) 一書中, 開宗明義的第一句話就寫道: "沒有買主會認為市場上的股票具有同樣的吸引力….完全相反, 他一定會找尋價格最好的股票!" 也就是說, 沒有人會因為今天想要投資, 就隨便買兩支股票來擺著, 而是想辦法找出一支飆股, 最好是有明牌告訴我們哪支股票會漲! 既然股股不等值, 也就沒有強勢效率市場這回事. 沒有人喜歡安全牌, 若是股票買了不會漲, 基本上就沒有人會買.

這句話也啟發了馬科維坦波茨, 為了平衡風險與獲利, 他以減少變異數的方式來投資. 具體而言, 就是提出一個投資組合. 透過分散投資來降低投資的風險. 在數學上, 可以用線性規劃來解釋: "最小的變異數下的最高股價總和" 就是他所追求的. 然而, 一大堆股票的變異數, 甚至於是共變異數 (covariance) 要怎麼樣合理求得呢?

馬科維茨和夏普 (William Sharpe) 最後找到了替代方案, 也共同得到了諾貝爾獎. 他們的計算方式是避開每支股票彼此之間的數學計算, 而是估計每支股票對於大盤 (整個市場) 的變動, 也就是所謂的貝塔 (ß) 值. 假設貝塔值為 1.36, 就表示大盤每變動 1 個百分點, 這個股票就會跟著變動 1.36 個百分點. 用貝塔值來取代變異數的計算, 使得投資組合最佳化變得較為簡單.

然而, 馬科維茨的理論有一個盲點, 那就是股市為何可以只用兩個變數來建立模型 – 平均數與變異數? 除非股市的報酬得是一個常態分佈才可以, 我們有證據證明證券的報酬是常態分佈嗎? 事實上, 我們找不到這樣的證據, 只能說這個模型堪用. 而依賴投資組合方式也不保證能夠致富. 如果投資人生不逢辰, 將會發現他的年代中股市報酬率奇低, 而變異數超大 – 二次大戰期間, 報酬率約 7%, 但變異數達到 37%.

換個角度看, 變異數真的要愈小愈好嗎? 有些人抱持著相反的觀點. 關鍵就在於我們是拿什麼時候的波動做為比較的基準? 假如在今 (2009) 年的 3 月, 股價已經跌到歷史的低點了, 我們應該不用在乎某支股票太會跌, 以至於不敢買進它. 相反地, 跌得愈多可能意味著愈高的報酬. 因此若干投資人認為風險是相對的.

總括以上對於風險的看法, 我們可以歸納出:

人類不愛好風險, 雖然期望獲利, 但更厭惡損失.

人類不喜歡不確定性.

人類不完全理性, 以至於有 "不變性失效" (failure of invariance).

不變性的失效表現在很多方面, 包括同樣的句子用正負兩面的說法, 就能夠愚弄受試者, 使他們做出自我矛盾的選擇. 心理帳目 (mental accounting), 模糊趨避 (ambiguity aversion), 決策悔意 (decision regret), 沉沒成本 (sunk cost), 原賦效益 (endowment effect), 與期望理論 (prospect theory) 在在證明了人非聖賢.

以上整理自 "Against the Gods" 第 10~17 章.

 

股市的隨機漫步

有一部分的人相信股市的走向是隨機漫步的.

有一種說法是, 市場若很有效率, 則現在的股價就已經充分反映所有的價值, 甚至於潛在的獲利與風險都已經列入考量. 在這種情況之下, 再壞的消息也都只能讓股價少許波動而已. 如果大家反應過度, 公司內部人就會佔你的便宜. 這種強勢效率 (Strong Form Efficiency) 市場表現在某些股票殖利率很高, 但硬是沒人敢買. 因為大家怕它忽然就下市或變壁紙了! 

比強勢效率市場弱一點的, 稱之為半強勢效率 (Semi Strong Form Efficiency) 市場. 它假設市場已經反映了所有公開的訊息, 至於公司內部人才知道的訊息並沒有反映出來. 因此, 股價不知道在漲什麼就漲起來了, 這就可以稱之為半強勢效率市場在發揮作用.

最後一種弱勢效率 (Weak Form Efficiency) 市場就等於是隨機漫步了. 此時假設已知的消息都已經反映在股價上了, 但是其中並不包含預測未來的資訊. 所以新的資訊一到, 股價就隨之上沖下洗. 我認為股價的表現的確像是這樣, 但是假設一切都根據新的消息而起舞, 那就太過頭了. 以博弈概念股來說, 大家早就期待澎湖可能要開放設賭場, 所以股價並不只是根據 "事實" 而波動, 它也會根據 "想像空間" 而波動! 等到公投沒過, 股價掉下來才能用弱效率市場解釋.

想要用一個模型去涵蓋整個市場, 基本上是不合理的. 但是隨機漫步模型至少起了抗拒了 "技術分析" 的作用. 因為股價是依據新資訊, 隱資訊 (公司內部才知道的消息) 和偽資訊 (新資訊發生的機率, 想像空間) 而決定的, 所以技術分析, 光是看過去的資料, 勢必將一無所獲.

在 "Against the Gods" 的第十章討論了這個有趣的問題. 如果隨機漫步為真, 過去的資訊無用, 那麼趨均回歸就變得沒有道理了! 既然沒有 "根", 還能 "回歸" 到哪裡去呢?

德邦特 (Werner Debondt) 與泰勒 (Richard Thaler) 歸納出兩個可能. 第一是趨均w回歸適用於整個市場, 但是不見得適用於個別的股票. 第二, 股東的心理因素. 股東過於貪婪或恐懼, 將使得趨均回歸延遲發生. 換言之, 兩位美國經濟學家的觀點在於強調 "趨均回歸" 為真, 但是並未證明股市可以預測. 既然股市還是不可預測, 那麼就毋須否定隨機漫步!

這就好比布朗運動, 雖然我不知道它要往哪邊動, 但是跑得了和尚跑不了廟. Fama 對於效率市場的定義也有助於解釋 "隨機漫步" 不一定要搞到神鬼莫測的地步, 只不過 (1) 新資訊隨機發生, (2) 投 "機" 人對新資訊各自解讀, 導致 (3) 股價對新資訊隨機變化. 其實我還可以加上一條 (4) 投 "機" 人的時間多寡, 心理素質與操盤能力的差異, 將以常態分佈反映出來, 這就是頭部與底部出現的原因.

另一方面, 如果趨均回歸是有效的, 我們可以透過更多的取樣, 發現變異數 (variance) 較比例為小的狀況. 若是不具備這種特性, 觀察的時間愈久, 變異數反而會愈來愈大. 美國的賴肯斯坦 (William Reichenstein) 與杜賽特 (Dovalee Dorsett) 做了這個實驗. 他們發現標準普爾 500 指數在 1926~1993 年之間, 每 3 年報酬的 variance 是 1 年報酬的 2.7 倍 (< 3), 但 8 年報酬的 variance 就是 1 年報酬的 5.6 倍 (< 8).  換言之, 趨均回歸是可以被證實的.

兩位學者認為: "股市投資人若持股一年, 有 5% 的機會賠掉 25% 以上, 也有 5% 的機率賺進 40% 以上. 另一方面, 若持有包括每種上市股票 30 年, 這個投資組合的成長低於 20% 的機會, 僅 5%, 但投資人賺到 50 倍以上的機會也只有 5%."

然而, 趨均回歸也並非萬靈丹. 畢竟, 回歸是一個現象, (平) 均值本身也會變化. 要花多少時間才能回歸更是沒有人可以知道. 如果一味相信股價會回歸真相, 那還得口袋夠深才可以. 不合理的股價看起來像是一個機會, 但是巴舍利耶 (Louis Bachelier) 說: "投機者的數學期望值為零." 

面對一個可能的賺錢機會, 我們應該要去冒這個險嗎? 過往的數學家教我們機率與分佈, 現在他們也試圖教我們要不要賭一把! 這個賺錢機會被視為一個假說, 我們將要測試這個假說是否應該被否決. 若是它被否決也就罷了, 若是沒有被否決, 投資人仍然要以自己的頭腦來判斷是否值得投資.

比方說, 根據壓力測試 (stress test) 的結果, 美國市場上的基金其實表現幾乎都落後於標準普爾 500 大指數. 但是從機率上來說, 有多少的機會是因為他們運氣不好? (也就是瑕疵針頭的機率明明超低到十萬分之一, 但是就是被檢查到每一千根有兩根的壞的.) 據說我們得花上一百年的時間, 才有 95% 的信心程度直言基金表現不如指數!! 但在我們可以得到這麼肯定的證據之前, 我們總不能不投資吧!

以上整理自 "Against the Gods" 第十章到第十二章.

 

高爾頓其人其事

法蘭西斯·高爾頓（Francis Galton) 這個人, 就是發表進化論的那個達爾文的表弟. 我們在 wiki 可以查到他的生平, 所以他也可以稱得上是一號人物, 他的貢獻是在優生學方面.

據說高爾頓對於數字有偏執性的愛好, 無論是什麼東西, 他都想要取得相關的數據. 甚至於他的口袋就有兩張卡片, 如果在路上遇見正妞, 就在左邊口袋的卡片打個洞, 若是遇見恐龍妹, 就在右邊口袋的卡片打個洞. 根據這個統計數據, 他 "發現" 倫敦的女人分數最高, 亞伯丁的女人其貌最寢~~~總之, 他酷愛數字, 為了測量一位難以接近的非洲美女的三圍, 還會動用三角函數, 皮尺與六分儀, 總之他非要知道具體數字不可.

雖然前面的這些敘述, 讓這位古怪的高爾頓先生看起來像是個維多利亞時代的登徒子, 不過收集這些數字對他來說純粹只是因為好奇. 他對所有的數字都感到興趣, 因而做了許許多多的實驗與統計. 分析這些數字之後, 常態分佈與趨均回歸就在其中矣! 因此高爾頓先生其實是一位學者. 

在高爾頓之前, 在這個方面最有成就的是比利時人凱特爾 (Lambert Adolphe Jacques Quetelet). 凱特爾喜歡研究社會現象與機率, 出版過一本 "論人類及其才能的發展", 這本書討論人的才能, 並且用法文的社會生理" (physique social) 來詮釋才能這個名詞. 凱特爾進一步認為, 如果統計一整個社會所有人的特性, 就會得到一個 "平均人" (average man), 這個平均人跨越性別, 種族與年紀, 代表這個社會的平均值.

即便本土正港台灣人可能不屑於與外來的政權的外省人平均在一起, 但是在這個分裂的台灣, 還是曾經有一個代表性的人物叫做 "李表哥", 他和 "山姆大叔" 代表美國人一樣, 是個由漫畫家勞瑞操刀的 "平均人". 另一方面, 由於硬是要指稱所有的社會都是常態分布的確是有點矯枉過正, 因此與凱特爾同一時期的庫爾諾 (Antoine-Augustin Cournot) 就大力地反對這個觀念.

高爾頓繼承了凱特爾的觀念, 認為凡事都屬常態分布. 此外, 他特別注重於極端的狀況. 因此他在他最重要的著作 "遺傳天賦" (Hereditary Genius) 一書當中, 就估計過天才的百分比. 大致上,  他認為已過中年的英國人, 每 4~5 千個人當中, 有一個人可以擁有傑出的評價. 相反地, 每 400 個人當中, 就有一個白癡. (假如大家都同意常態分布是對稱的, 那麼白癡的標準未免也太寬鬆了…呵呵呵). 這個天才與白癡的觀念, 影響後世相當大, 後來甚至被拿來當作種族滅絕的藉口.

高爾頓的實驗證明, 常態分佈無所不在. 無論是鋼珠的分佈, 甚至於是已分佈鋼珠的再重新掉落一次, 落點仍然是常態分佈. 但如果僅僅是重新證明一次常態分佈, 那麼高爾頓不過是凱特爾第二, , 高斯第三, 或是第四個棣美弗; 高爾頓比前人更突破的地方在於他發現了趨均回歸. 

什麼是趨均回歸呢? 它有一點點 "平均人" 的味道. 就以七類大小不同的豌豆為例, 每一種都有十個樣本. 但是到了它們的子代, 大豌豆的小孩雖大, 但沒那麼大了, 小豌豆的小孩雖小, 但也沒那麼小了. 過於懸殊的 "天才豌豆" 和 "白癡豌豆" 並沒有完全重現在下一代. 這表示特例並不那麼容易重現, 或許要多做幾次實驗, 才可以再看到特大豌豆出現, 甚至它的親代並不是特大豌豆, 而是個大豌豆而已.

豌豆直徑 in 1% 吋
親代 15 16 17 18 19 20 21
子代 15.4 15.7 16 16.3 16.6 17 17.3

 

最近辦公室裏面多了很多新手爸爸, 新手媽媽, 準爸爸與準媽媽. 大家對於下一代可能都有所期許, 不過高爾頓的實驗告訴大家不要想太多, 一切都是命啊! 高個爸爸與高個媽媽生出的孩子大致上是個高個子, 但是依據趨均回歸, 這孩子並不見得會比爸媽都高. 若是多生幾個的話, 倒是有很大的機會生出個長人來! 同樣地若是各位的身高在兄弟姊妹中是比較矮的, 那麼到了子代就有較大的機會生出比自己高的子女. 當然, 現在的小孩營養愈來愈好, 還是要額外加個幾公分, 算是考慮到近來營養與健康上的進步. 

"Against the Gods" 為何從討論機率, 變成討論優生學了呢? 主要是因為股市也有趨均回歸. 大家都說漲多必跌, 有什麼理論根據嗎? 有的, 那就是趨均回歸. 股市加權指數就像現代人的身高一樣節節高升. 日本人的身高在第二次世界大戰後大幅地上揚幾十公分, 一如美國道瓊工業指數從幾百點變成了幾萬點. 然而, 道瓊工業指數有條件漲到百萬點嗎? 我想那和日本人平均身高變成 2 公尺一樣遙不可及.

趨均回歸是我們考慮風險時, 不能忘記的一個因素. 巴菲特, 葛拉漢其實都是趨均回歸的奉行者, 被低估的總有一天會獲得平反. 不只是單一的股票, 連投資組合, 或是一整個國家都難逃趨均回歸的魔咒. 大家也許會痛罵政府無能, 讓台灣的經濟奇蹟變成過往雲煙. 事實上, 想要維持永遠的榮景, 並不是那麼容易的. 一國的強, 就是他國的弱. 羅馬帝國, 奧匈帝國, 秦漢唐元不都滅了嗎? 贏家一直贏的可能性很低, 只是 "一直" 代表多久沒有人知道.

以上整理自 "Against the Gods", 第 9 章, 第 10 章.

 

伯努利一族

說到伯努利 (Bernoulli), 大家一定都難忘 "白努力" 原理, 我這次就是要講這位伯努利. 其實伯努利一家可說是一門忠烈, 充分展現出優良的遺傳血統.

Nicolaus Bernoulli 三代家譜

Jacob (猜測的藝術)

書中提出大數法則

 Nicolaus I  Johann
Nicolaus III

Daniel (新理論)

提出伯努利原理

  Nicolaus II  

與葛朗特, 佩蒂, 哈雷同期, 波爾羅亞 (Port-Royal) 出版了一本 "邏輯". 主張做決定時不在乎機率, 只顧慮後果的人, 想必對於風險懷有病態的恐懼. 而伯努利家的成員丹尼爾伯努利 (Daniel) 在 "新理論" 一書中, 反過來強調, 如果只考慮機率, 而不考慮後果, 那才叫做有用無謀. 換言之, 事件的後果和風險的高低, 分別為兩種衡量事情的標準.

伯努利相當反對 "期望值" 這件事, 他認為應該強調 "效用"; 因為機率是一種數學, 但是人就是人. 在一架遭遇亂流的飛機中, 會不會活下去可以用機率去描述, 但是緊不緊張是另外一件事, 甚至還有人在呼呼大睡呢! 因此伯努利不認為機率應該決定我們的行為.

伯努利說: "財富小量增加所產生的效用跟原來擁有的財富數量成反比." 這個立論在後來被很多人反對, 但是它就是 "彼得堡矛盾" (Petersburg Paradox) 問題的文字版. Nicolaus III Bernolli 最早提出這個問題, 他假設有甲乙兩個人賭博, 甲丟一枚銅板, 直到出現正面為止. 若第一次就出現正面, 甲給乙 1 元, 第二次才出現正面, 甲給乙 2 元, 第三次就是 4 元, 第 N 次才出現正面, 甲就要給乙 2N-1 元. 看起來乙絕對是贏家, 說不定可以變成億萬富翁; 但是你願意用多少錢來買乙的權利呢? Daniel Bernolli 說, 雖然這個賭局中, 乙的財富可能無上限, 但是考慮到機率, 有人願意花 20 塊來買就應該要很高興了.

根據機率,  乙的期望值是贏取 1/2 x 1 + 1/4 x 2 + 1/8 x 4 + ….+1/2k 元, 勉強算是 1 元吧! 你我都可以想像: 甲連續失手 50 次, 使得乙可以贏得 1,000 兆的美夢, 其實是有點不切實際的. 至於甲失手 1,000 次可以帶給乙多大的財富, 其實對乙已經沒差了,  反正就是天文數字, 不至於因為那個期望而更加地熱血! 另一方面, 有人會花錢買乙的權利, 有些人則不會, 一般人決定要不要買彩券的心理也是如此.

伯努利所講的效用, 可以衍生為效用遞減的理論. 也是後來維多利亞時代供需法則 (the Law of Demand and Supply) 的基礎, 提出這理論的經濟學家是馬歇爾 (Alfred Marshall).

談完兒子再來談老爸 Jacob Bernoulli, 既然有大數法則掛在他的名下, 大家應該知道這位老兄對機率有著驚人的貢獻. Jacob 在 1703 年的時候, 正在思考用少數樣本 (先驗機率) 來推算機率的問題. 請注意, 以前的骰子問題都是先有機率模型, 然後評估每一個事件發生的機率.  而 Jacob 則反過來看待這個問題. Jacob  因為自己想不通, 就寫信給萊布尼茲求教. 他說: 我們知道擲兩粒骰子的時候, 出現 7 的機率比出現 8 的機率高, 卻無法知道一名二十歲男子的壽命是否會比一個六十歲的老人長, 實在是不可思議. 萊布尼茲回信認為: 有限的樣本, 不可能推導出甚麼結論, 就算是有結論, 也並非每件事都能符合, 只有大部分如此.

看似潑冷水的回覆, 其實給了 Jacob 一個方向. 那就是並不需要強求精準, 只要大致上符合就好了. 即使擲無限次的銅板, 正反面的機率也不保證是 1/2, 只是誤差比較小而已. Jacob 說, 假如有一個罐子裡面有 3,000 顆白石頭與 2,000 顆黑石頭, 只要反覆地從罐子裡面拿石頭出來 (看完還要丟回去), 大致就可以得到白石頭與黑石頭為 3:2 比例的結論. 若是拿個 25,550 次, 將有 1000/10001 的機率, 發現兩色石頭的比例在 3:2 的 2% 誤差以內. 這是首次有人訂出 "幾乎可確定為必然" 的標準.

Nicolaus II (綽號慢半拍, Nicolaus the Slow) 後來繼續 Jacob 的研究, 他的研究方法和伯父是互補的. 他專門研究在特定的誤差下, 應該要取樣幾次. 換言之, 觀察次數和誤差是可以互換的. 比方說新生兒中男女嬰的比例是 18:17, 但也有 43.58:1 的機會, 實際出生的男嬰和期望值有正負 163/7200 的出入. 經由伯努利一族的發揚光大, 機率又往前進了一步.

本文整理自 "Against the Gods" 第六章, 第七章.

 

壽險精算業的祖師爺

在 “Against the Gods" 一書的第五章, 主要是介紹統計. 幾位 “無名英雄" 和意想不到的 “名人" 同台登場.

首先出場的是, 以鈕扣商人的身分加入英國皇家學會的葛朗特 (John Graunt). 他的主要事蹟是在業餘的時候寫了一本書 “根據死亡率所做的自然與政治觀察", 裡面研究了 1603~1661 (?) 年倫敦的出生率與死亡率. 他採用倫敦市政府從  1603 年開始記錄的每週數據, 再加上教會保管的出生與死亡資料, 以抽樣的方法來估計人口. 因為數字來自於政府 (state), 所以統計學後來就叫做 statistic.

葛朗特認為這些數據可以讓商業與政府更穩定. “擁有這樣的知識,…., 就知道這些人消費的數量,  不至於做出乖離事實的預估. " 這個前瞻性的想法, 使得葛朗特也被尊為市場研究之父.  牽涉到經濟與政治之後, 原本枯燥乏味的統計書就變成治國經商的藍圖了.

這本書出版的時間點, 正好是英國由農業社會轉型為發展私有財產與海外貿易的關鍵期. 原本的地主只需要依土地的面積和收成來納稅, 人口多少根本無關緊要. 但是進入需要役男的時代後, 到底有多少人口就至為重要了! 本書大賣 5 版, 使得葛朗特的大名引起廣泛的注意.

現代經濟學之父的佩蒂 (看起來很像女生, 但是他是男的, 著有 “政治算術" 一書) 在巴黎的 “知識期刊" 上發表這本書的書評,  進一步啟發了法國人也做類似的研究. 英王查理二世還特別欽點葛朗特加入皇家學會, 並且對於那些不滿小商人變成 “中研院院士" 的其他學會成員下令: “如果還能找到其他類似的小生意人, 都要讓他們入會, 不許囉嗦!" 看來這位英王相當地有趣, 難怪人稱快樂王 (Merry Monarchy). 當然, 查理二世也做過一些不得人心的事, 比方說強制關閉咖啡館, 避免大家議論國事. 但 16 天後礙於民意又取消了.

葛朗特統計的年代, 歐洲正在流行瘟疫. 以 1603 年為例, 就有 82% 的人死因是瘟疫. 另外 36% 的小孩會在 6 歲前夭折, 我想這是後來流行辦慶生派對的原因, 能活下來真的不容易. 葛朗特最大的貢獻不是在與整理已經知道的事情, 而是推估與建議. 他認為: 急性流行病可能因氣候, 食物引起, 應由政府設法管制. 餓死的人很少, 但是市區內乞丐氾濫成災, 這些乞丐看起來大多健康強壯, 所以他建議政府要加以干預, 把這些乞丐依個人的條件和能力加以訓練, 讓他們自食其力.

葛朗特也知道自己的數據不完整, 所以他做了一些假設. 在倫敦市每年出生 12,000 人的前提下, 假設每戶有 8 個人 (包括僕役), 每兩戶有一個婦女達到可生育的年齡, 因此算出倫敦市應該有 384,000 人 (12,000 x 2 x 8). 另外, 他也用倫敦地圖和每人生存面積來推估出倫敦市應該有 47,520 戶人家來印證第一個方法沒有太偏差. 而當時大家普遍相信倫敦有 200 萬人, 所以就算葛朗特的數據不夠準, 也已經大幅修正了大家 “認為" 的人口數. 

另一方面, 葛朗特依照 36% 的小孩活不過 6 歲, 一般人都活不過 75 歲的資訊, 編列了一個 6~76 歲的餘命表, 而初生嬰兒的壽命期望值是 16 歲. “古人" 真是可憐啊! 這也凸顯出中國的戶部尚書不愛數學. 為何中國就沒有統計數字可以流傳到後世, 難道…因為那是國家機密的關係嗎?

講完了英法, 再講德國. 研究德國人口的是一個英國人 – 哈雷 (Edmund Halley), 沒錯, 就是命名哈雷彗星的天文學家哈雷. 當時德國有一個叫做努曼 (Casper Naumann) 的神職人員, 他的教區有一種迷信, 認為月亮週期和健康有週期性的關係. 為了破除這種不符合教義的說法, 努曼找數學家萊布尼茲幫他的忙. 萊布尼茲把報告轉給倫敦皇家學家, 因此引起頂尖天文學家, 35 歲的哈雷的注意 (大概是牽扯到天體運動吧?)

哈雷是個神童, 還沒念完牛津, 就帶著他的 24 吋望遠鏡去南半球研究天空, 不到 20 歲就名滿全國. 22 歲的時候, 哈雷就加入皇家學會. 1721 年國王下令頒給他學位, 不過他在 1703 年就在牛津當教授了.

哈雷研究了德國小鎮的人口, 同樣做了一張餘命表, 並且算出該服役的人口數為 1/34. 比葛朗特更進一步的是, 他計算出同一個年齡層的一群人,  在一年內死亡的機率. 比方說 25 歲的有 567 人, 但是 26 歲的人只有 560 人, 因此 25 歲的人有 7/567 活不到明年生日. 哈雷順便幫保險公司計算了保費對照表, 完成了社會期待已久的傑作.

早在西元 225 年羅馬人就有年金保險的記錄了, 而保險的歷史更可以追溯到西元前 1800 年的 “漢摩拉比法典" (Code of Hammurabi), 當中有 282 則條文與船舶的保險有關. 但是保費應該怎麼收呢? 一千多年來, 唯一的依據似乎就是羅馬法律學者烏爾比安 (Ulpian) 的壽命預測表. 葛朗特和哈雷的研究啟發了當代的保險業者, 使得保險業在那個年代蓬勃發展.

17 世紀後半期, 正是英國與荷蘭爭霸於海上的時期. 兩國為了籌措軍費, 相繼地以年金保險的形式向全民舉債. 英國政府繼 1504 年賣過 7 年還本的年金保險之後, 又在 1693 年推出 14 年還本的一百萬英鎊的年金保險. 雖然他們這次已經運用了平均壽命有 14 歲這項資訊. 但是英國政府對於買保單的人, 不論被保險人幾歲都是統一定價. 因此這些保單不但沒有充實國庫, 反變成政府驚人的龐大債務. “依據被保險人的年齡來為保單定價" 這個觀念, 據說到了 1789 年才反映到英國政府的新保險年金之中.

民間的保險業者似乎比政府更加地積極, 自1637 年英國的卡諾皮亞斯 (Canopius) 喝了第一口咖啡之後, 各地迅速開起了許多咖啡館. 這些咖啡館除了提供, 在 “創世紀" (Ultima) 遊戲中, 供勇者打聽情報的功能之外, 就是給保險經紀人賣保險了. 1720 年, 兩家保險公司甚至送給英王喬治一世 30 萬英鎊的賄款, 使他們變成具有獨佔權的保險公司.

1771 年, 獨佔權大概是失效了. 經常聚集在勞埃咖啡館 (Lloyd’s) 的保險經紀人, 自己聚資成立有點像是會員制的保險公司 – 勞埃協會 (Society of Lloyd’s), 以個人的身家來為客戶擔保. 後來勞埃也發展成史上最著名的保險公司之一, 由此可見咖啡館和保險業真的極有淵源.

最近景氣變差之後, 保險經紀人除了轉戰不用錢的大賣場或是公司 lobby 談合約之外, 做生意的手法並沒有太大的變化. 依然是拿大部分人的保險費, 去付給自己, 以及少數真正被理賠的人. 古今的差異, 應該在於業者有了充分的數據做為後盾, 再也不可能像英國政府一樣做賠本生意了. 買彩券的期望值是負的, 買保險也是; 前者在活的時候還用得到, 後者要死了以後才能 “用到" 喔! 

哈雷的研究, 啟發了後來的棣美弗 (Abraham de Moivre). 他在 1725 年出版了一本 “人壽保險", 討論一個被伯努利 (Bernoulli) 分析過的問題. 既然哈雷可以用一個小鎮的樣本, 來說明 346 個 50 歲的人, 其中只有 152 個人活到 70 歲 (41%), 那麼世界上所有的城鎮, 都可以用 41% 來推算嗎? 如果實際上的值是 50%, 那麼因為樣本數過少, 而導致獲得 41% 這個結論的機率有多高?

基於伯努利一族的研究, 棣美弗發現了常態曲線. 也就是估計很偏差的機會不是沒有, 但是機率小得很多. 這個模型就像是一個鐘形,  在標準差之內的狀況經常被重現 (68%), 而 95% 的觀察會落在兩個標準差之內. 這個發現使得棣美弗感到 “開悟", 因此稱之為 “神的計畫“. 棣美弗的重要著作還包括: “抽籤計算法", 後來改名為"機會論".

在研讀棣美弗的論文之後, 皇家學會的一名會士普萊斯 (Richard Price) 也寫了兩篇論文, 後來的一篇據說使得他的頭髮一夜間變白. 1771 年, 普萊斯的著作正式發表, 書名是 “保險金償付論". 這部著作使他贏得精算學(actuarial science) 始祖的頭銜. 至於只研究機率, 卻沒和保險業扯上關係的數學家當然還是大有人在. 比方說我們唸模式識別  (pattern recognition) 一定要讀的貝氏理論 (Bayes’ Theorem) 的貝氏就把遺產捐贈給和他一樣研究統計, 聲譽甚佳的普萊斯.

貝氏的研究主題是: 一個事件發生的機率有多少? 假設抽樣 10 萬根針,  發現了 12 根有瑕疵,  而平均的瑕疵率是萬分之一,  有多少機率這 12 根的出錯是 “正常的" 呢? 貝氏也皇家學會的成員, 但是世人對他了解不多. 我只知道他留下了很多的公式…

在 “Against the Gods" 的第七章, 舉了一個貝氏計算的例子. 根據我修過但不是太優的 pattern recognition 基礎, 我覺得作者的舉例是錯的. 需要使用的公式並不神秘, 就是 P(A|B) x P(B) = P(B|A) x P(A), 兩家工廠的事後機率似乎不可能被扳回那麼多成. 有興趣的人可以幫我驗證一下, 謝謝!

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