作者: Cash

罽賓亡國恨

罽賓是一個國家, 大約在喀什米爾一代, 存在期間大約在漢代至唐代. 國名罽賓是從希臘人 (?) 的 Kophen 翻譯過來的, 讀音是 "計賓".

罽賓干我什麼事呢? 事情是這樣的. 我的女兒讀國二, 功課很重. 不過她遺傳了我的性格, 該緊張的時候都不緊張. 所以在晚上 7 點鐘, 她還精神奕奕的時候, 都不知道努力唸書. 歷史會考的地方都不唸, 只注意地圖上一個微不足道, 絕對不會考的小國家 – 罽賓. 她很好奇 "罽" 這個字要怎麼唸? 不過很抱歉, 她的老爹也不會. 至於她的親娘呢? 因為有老花眼的關係, 這個 "罽" 字又只有這麼小吧?! 我想她連字的結構都看不清楚. 

於是我的女兒就在親娘勸阻, 老爹想幫忙的冗長又混亂的過程中, 從辭海中查到了這個名詞和讀音. 前後花了半個小時之久吧, 她不是正在查, 就是不專心看書想要偷查… 查到之後, 我的女兒當然是很得意, 因為老爹自告奮勇要幫她查都無功而返, 特別突顯出年輕人還是比較有競爭力!

不過等我去上完夜班回來, 我的女兒已經沒電了. 十點半已過, 她的理化測驗卷還沒回答完, 日記也還沒寫, 可是都快睡著了.  據老婆回報已經偷睡了 10 分鐘. 我只好一邊打部落格的讀書心得, 一邊在旁邊監督她專心向學. 她顯然沒唸書, 溶劑的濃度是水 + 溶質當分母, 溶質當分子, 她還以為是融質除以溶劑, 被幾個考古題修理得一蹋糊塗. 經過一番循循善誘之後, 都已經快 12 點鐘了.

每天我的女兒都只睡 6 個半小時而已, 比她同學的平均值還要少, 主要是因為她太會東摸西摸了. 有好奇心雖然不是壞事, 但是這年頭小孩要唸的書頗多; 若是什麼東西都要好奇一下, 就會失去競爭力. 教改了半天, 重點好像還是沒改到!? 如果勉強要怪別人的話, 就怪罽賓的領導人吧! 如果他們把國家搞強一點, 北滅俄羅斯, 南平印度巴基斯坦, 西併土耳其, 東邊有沒有打到台灣都無所謂了, 今天還有誰不認識它呢? 所以說罽賓亡國, 吾亦有恨啊!

 

衍生性金融商品的另一面

自從金融海嘯之後, 大家都把衍生性金融商品當作洪水猛獸. 其實, 很多人都是它的受益者. 比方說, 房貸就是其中的一個. 如果各位的房貸並非固定利率, 這就是一種選擇權.

浮動利率的房貸 (Adjustable Rate Mortgages；ARMs) 又稱為指數型房貸. 我們可以不還本金, 只還利息 (Interest-Only), 或/且選擇可以先還本金 (Pay-Option). 如果預期未來的利率會愈來愈低, 假設極端的例子, 借錢不用利息好了, 大家應該會選擇多欠一點, 根本不想還本金. 若是利率預期會漲到天上, 那當然是趕快把本金還掉. 因此, 房貸的選擇就已經隱含了選擇權的觀念.

如果各位使用 "CAP 型房貸" 就更是標準的選擇權了. "消費者支付一筆權利金（約貸款金額的0.5％），購買五年內房貸利率不超過某個固定利率（議定利率）的權利，就像是為自己的房貸利率戴了帽子，不用擔心利率快速上升而產生風險。 " 

第一個用數學方法而非直覺為選擇權定價的人據說是 1900 年的巴舍利耶, 後繼者其實並不多, 主要是半個世紀之後的薩繆爾森, 以及他的助教默頓 (Robert Merton), 外加唸物理數學家的布萊克與唸財政的休斯 (Myron Scholes).  他們正好都在研究 "市場如何用風險交換報酬"  – 這是最初由一位崔諾 (Jack Treynor) 提出來的題目, 只是成果似乎主要歸在前三人的身上.

根據他們複雜的代數演算, 選擇權的價值決定於 4 個因素: 時間, 價格, 利率與波動性. 所謂的時間就是到期日愈遠愈好. 不只是因為 FV 總是比 CV 大, 也因為選擇權在早期還有 "選擇" 的機會, 到了後期就只能 "認命" 啦! 第二種就是履約價格, 對於買權來說, 履約要當然要低於現貨價格才值錢. 第三種利率因素, 對於短期間的選擇權其實沒什麼意義. 如果利率真的波動那麼大, 早上捨不得買的股票, 到下午應該要捨得買了, 因為早上的錢比晚上的錢 "本利和" 要高, 哈! 第四項就是最重要的: 波動性! 不波動就不會有人買選擇權了.

1970 年, 布萊克和休斯將他們的發現寫成論文, 投稿到芝加哥大學的 "政治經濟學期刊", 不過不幸被退稿了! 他們再轉投哈佛大學的 "經濟與統計評論", 結果還是迅速被退稿, 連審都不想審. 布萊克認為背後的原因就是他沒有博士學位,  至於真相就沒有人知道啦. 三年後的 1973 年四月, 芝加哥選擇權交易所開張, 而 "政治經濟學期刊" 也從善如流地在 5/6 月號就把他們的論文登出來.

至於其他形式的衍生性金融商品, 對一般人就比較陌生了. "投資組合保險" (portfolio insurance) 據就是一位窮困的教授所想出來的賺錢奇招. 1976 年 9 月, 柏克萊大學的李蘭德 (Hayne Leland) 教授想出這個對投資標的物買保險的方法. 所謂的買保險, 其實就是買一些反方向的選擇權來當作投資的一部分. 這樣雖然會減少自己的最大收益, 但是理論上反向選擇權可以減少損失. 於是李蘭德就和他做過股票營業員的同事魯賓斯坦 (Mark Rubinstein) 合作開了公司.

各位讀者別太急, 立刻衝去買類似的金融商品. 固然這兩位先烈的觀念沒錯, 他們的公司也大賺其錢. 但是等到股市真的突然崩盤的時候, 連手中的反向選擇權都賣不掉. 比方說, 買進某股票在 100 元, 並且買進賣權在 90 元; 一旦股市立即跌到 50 元, 誰敢去接 90 元的賣權呢? 是的, 1987/10/19 的美國股市大崩盤使得這種產品從主流市場消失了.

雖然先烈掛了, 後繼者卻愈來愈變本加厲! 2008 年的金融大海嘯正是 "什麼都拿來賣" 的結果. 金融界有從其中得到教訓嗎? 其實我覺得沒有. 因為 1994 年的利率波動就已經用 "衍生性金融商品" 搞垮數家大型的 "好" 公司了, 1995 年還由各大央行代表組成 "巴賽爾委員會" (Basle Committe) 來監督銀行與證券公司在衍生性金融商品的活動. Basle Committe 的決議據說是金融證照的主要考題, 但是成效若是好的話, 哪會有 2008 年之難呢?

本文整理自 "Agaist the Gods" 的 18~19 章. 至此這本書已經草草地整理完了. 本書的作者是彼德·伯恩斯坦 (Peter L. Bernstein), 中文版初版於 2006 年. 這本書對我相當有啟發性, 可說是近年來讀到最好的書. 我看到也有人在博客來網站批評這本書, 可見得大家的期望有所不同. 這本書的確沒有給出一個明確的結論, 告訴我們如何趨吉避凶. 如果要從這個觀點來看本書, 作者的確不夠厚道, 寫了那麼大一本書, 也不給個明牌. 然而, 當今之世, 誰有資格告訴我們做什麼投資是穩賺不賠的呢? 連老巴菲特去年都虧了一百億美金呢!

我們除了一切靠自己, 也需要瞭解歷史. 從前人的足跡當中, 我們可以看到:

古人只懂風 (希臘人崇拜風), 但不懂風險.

懂了機率 (卡達諾), 但不懂勝算的大小 (帕契歐里難題).

懂了勝算的大小 (巴斯卡), 但其實不會把把都贏 (高斯分佈).

掌握了 mean  和 variance 的計量工具, 但是有趨均回歸 (高爾頓), 常態分佈不是必然.

剛開始以為自己什麼都知道 (古典經濟學), 後來發現我們一無所知 (凱因斯).

從不知道別人在做甚麼的風險, 進步到考慮別人會怎麼做的賽局.

從相信人類是理性, 進步到承認人類是不完美的.

不只是有價值的東西可以賣, 進步到風險也可以拿來賣.

唯獨最後一項, 我們身在其中, 並不知道這算是進步還是亂流?

 

風險與不確定性

風險 (risk) 與不確定性 (uncertainty) 最初被大家認為是一樣的東西, 直到奈特明確地在他的博士論文 (後來變成 "風險不確定性與利潤" 一書) 中指出其中的差異. 所謂的風險是指可以度量的不確定性, 而不能度量的就是不確定性啦!

凱因斯雖然和奈特沒有私交, 甚至有些齟齬, 但是他的觀點也相當類似. 在機率論 (A Treatise on Probability) 一書當中, 凱因斯表達了對於依據機率做決策感到不耐. 他反對用過去發生的機率來決定我們該做什麼? 也討厭用事件 (event)  一詞,  因為他認為 "事件" 隱含了將會計算其發生頻率. 凱因斯認為我們應該注重不確定性, 更甚於古典經濟學的統計的數據.

什麼是不確定性呢? 那就是 "其他人在想什麼?" 假如我們知道別人在想什麼? 或是我們以為我們知道, 那麼我們會做什麼呢? 這就是 "賽局理論" 啦! 馮.諾伊曼 (John von Neumann) 據說是賽局理論的發明人, 而我們都知道納許 (John Nash) 以賽局理論中的納許均衡 (Nash Equilibrium) 得到了諾貝爾獎, 這是因為納許進一步地解釋了賽局的結果 – 穩定但是不如人意.

為了避開風險, 一般人寧可做出次佳的選擇. 但是, 人類其實會追求風險. 在威廉斯 (John Burr Williams) 的 "投資價值論" (The Theory of Investment Value) 一書中, 開宗明義的第一句話就寫道: "沒有買主會認為市場上的股票具有同樣的吸引力….完全相反, 他一定會找尋價格最好的股票!" 也就是說, 沒有人會因為今天想要投資, 就隨便買兩支股票來擺著, 而是想辦法找出一支飆股, 最好是有明牌告訴我們哪支股票會漲! 既然股股不等值, 也就沒有強勢效率市場這回事. 沒有人喜歡安全牌, 若是股票買了不會漲, 基本上就沒有人會買.

這句話也啟發了馬科維坦波茨, 為了平衡風險與獲利, 他以減少變異數的方式來投資. 具體而言, 就是提出一個投資組合. 透過分散投資來降低投資的風險. 在數學上, 可以用線性規劃來解釋: "最小的變異數下的最高股價總和" 就是他所追求的. 然而, 一大堆股票的變異數, 甚至於是共變異數 (covariance) 要怎麼樣合理求得呢?

馬科維茨和夏普 (William Sharpe) 最後找到了替代方案, 也共同得到了諾貝爾獎. 他們的計算方式是避開每支股票彼此之間的數學計算, 而是估計每支股票對於大盤 (整個市場) 的變動, 也就是所謂的貝塔 (ß) 值. 假設貝塔值為 1.36, 就表示大盤每變動 1 個百分點, 這個股票就會跟著變動 1.36 個百分點. 用貝塔值來取代變異數的計算, 使得投資組合最佳化變得較為簡單.

然而, 馬科維茨的理論有一個盲點, 那就是股市為何可以只用兩個變數來建立模型 – 平均數與變異數? 除非股市的報酬得是一個常態分佈才可以, 我們有證據證明證券的報酬是常態分佈嗎? 事實上, 我們找不到這樣的證據, 只能說這個模型堪用. 而依賴投資組合方式也不保證能夠致富. 如果投資人生不逢辰, 將會發現他的年代中股市報酬率奇低, 而變異數超大 – 二次大戰期間, 報酬率約 7%, 但變異數達到 37%.

換個角度看, 變異數真的要愈小愈好嗎? 有些人抱持著相反的觀點. 關鍵就在於我們是拿什麼時候的波動做為比較的基準? 假如在今 (2009) 年的 3 月, 股價已經跌到歷史的低點了, 我們應該不用在乎某支股票太會跌, 以至於不敢買進它. 相反地, 跌得愈多可能意味著愈高的報酬. 因此若干投資人認為風險是相對的.

總括以上對於風險的看法, 我們可以歸納出:

人類不愛好風險, 雖然期望獲利, 但更厭惡損失.

人類不喜歡不確定性.

人類不完全理性, 以至於有 "不變性失效" (failure of invariance).

不變性的失效表現在很多方面, 包括同樣的句子用正負兩面的說法, 就能夠愚弄受試者, 使他們做出自我矛盾的選擇. 心理帳目 (mental accounting), 模糊趨避 (ambiguity aversion), 決策悔意 (decision regret), 沉沒成本 (sunk cost), 原賦效益 (endowment effect), 與期望理論 (prospect theory) 在在證明了人非聖賢.

以上整理自 "Against the Gods" 第 10~17 章.

 

股市的隨機漫步

有一部分的人相信股市的走向是隨機漫步的.

有一種說法是, 市場若很有效率, 則現在的股價就已經充分反映所有的價值, 甚至於潛在的獲利與風險都已經列入考量. 在這種情況之下, 再壞的消息也都只能讓股價少許波動而已. 如果大家反應過度, 公司內部人就會佔你的便宜. 這種強勢效率 (Strong Form Efficiency) 市場表現在某些股票殖利率很高, 但硬是沒人敢買. 因為大家怕它忽然就下市或變壁紙了! 

比強勢效率市場弱一點的, 稱之為半強勢效率 (Semi Strong Form Efficiency) 市場. 它假設市場已經反映了所有公開的訊息, 至於公司內部人才知道的訊息並沒有反映出來. 因此, 股價不知道在漲什麼就漲起來了, 這就可以稱之為半強勢效率市場在發揮作用.

最後一種弱勢效率 (Weak Form Efficiency) 市場就等於是隨機漫步了. 此時假設已知的消息都已經反映在股價上了, 但是其中並不包含預測未來的資訊. 所以新的資訊一到, 股價就隨之上沖下洗. 我認為股價的表現的確像是這樣, 但是假設一切都根據新的消息而起舞, 那就太過頭了. 以博弈概念股來說, 大家早就期待澎湖可能要開放設賭場, 所以股價並不只是根據 "事實" 而波動, 它也會根據 "想像空間" 而波動! 等到公投沒過, 股價掉下來才能用弱效率市場解釋.

想要用一個模型去涵蓋整個市場, 基本上是不合理的. 但是隨機漫步模型至少起了抗拒了 "技術分析" 的作用. 因為股價是依據新資訊, 隱資訊 (公司內部才知道的消息) 和偽資訊 (新資訊發生的機率, 想像空間) 而決定的, 所以技術分析, 光是看過去的資料, 勢必將一無所獲.

在 "Against the Gods" 的第十章討論了這個有趣的問題. 如果隨機漫步為真, 過去的資訊無用, 那麼趨均回歸就變得沒有道理了! 既然沒有 "根", 還能 "回歸" 到哪裡去呢?

德邦特 (Werner Debondt) 與泰勒 (Richard Thaler) 歸納出兩個可能. 第一是趨均w回歸適用於整個市場, 但是不見得適用於個別的股票. 第二, 股東的心理因素. 股東過於貪婪或恐懼, 將使得趨均回歸延遲發生. 換言之, 兩位美國經濟學家的觀點在於強調 "趨均回歸" 為真, 但是並未證明股市可以預測. 既然股市還是不可預測, 那麼就毋須否定隨機漫步!

這就好比布朗運動, 雖然我不知道它要往哪邊動, 但是跑得了和尚跑不了廟. Fama 對於效率市場的定義也有助於解釋 "隨機漫步" 不一定要搞到神鬼莫測的地步, 只不過 (1) 新資訊隨機發生, (2) 投 "機" 人對新資訊各自解讀, 導致 (3) 股價對新資訊隨機變化. 其實我還可以加上一條 (4) 投 "機" 人的時間多寡, 心理素質與操盤能力的差異, 將以常態分佈反映出來, 這就是頭部與底部出現的原因.

另一方面, 如果趨均回歸是有效的, 我們可以透過更多的取樣, 發現變異數 (variance) 較比例為小的狀況. 若是不具備這種特性, 觀察的時間愈久, 變異數反而會愈來愈大. 美國的賴肯斯坦 (William Reichenstein) 與杜賽特 (Dovalee Dorsett) 做了這個實驗. 他們發現標準普爾 500 指數在 1926~1993 年之間, 每 3 年報酬的 variance 是 1 年報酬的 2.7 倍 (< 3), 但 8 年報酬的 variance 就是 1 年報酬的 5.6 倍 (< 8).  換言之, 趨均回歸是可以被證實的.

兩位學者認為: "股市投資人若持股一年, 有 5% 的機會賠掉 25% 以上, 也有 5% 的機率賺進 40% 以上. 另一方面, 若持有包括每種上市股票 30 年, 這個投資組合的成長低於 20% 的機會, 僅 5%, 但投資人賺到 50 倍以上的機會也只有 5%."

然而, 趨均回歸也並非萬靈丹. 畢竟, 回歸是一個現象, (平) 均值本身也會變化. 要花多少時間才能回歸更是沒有人可以知道. 如果一味相信股價會回歸真相, 那還得口袋夠深才可以. 不合理的股價看起來像是一個機會, 但是巴舍利耶 (Louis Bachelier) 說: "投機者的數學期望值為零." 

面對一個可能的賺錢機會, 我們應該要去冒這個險嗎? 過往的數學家教我們機率與分佈, 現在他們也試圖教我們要不要賭一把! 這個賺錢機會被視為一個假說, 我們將要測試這個假說是否應該被否決. 若是它被否決也就罷了, 若是沒有被否決, 投資人仍然要以自己的頭腦來判斷是否值得投資.

比方說, 根據壓力測試 (stress test) 的結果, 美國市場上的基金其實表現幾乎都落後於標準普爾 500 大指數. 但是從機率上來說, 有多少的機會是因為他們運氣不好? (也就是瑕疵針頭的機率明明超低到十萬分之一, 但是就是被檢查到每一千根有兩根的壞的.) 據說我們得花上一百年的時間, 才有 95% 的信心程度直言基金表現不如指數!! 但在我們可以得到這麼肯定的證據之前, 我們總不能不投資吧!

以上整理自 "Against the Gods" 第十章到第十二章.

 

高爾頓其人其事

法蘭西斯·高爾頓（Francis Galton) 這個人, 就是發表進化論的那個達爾文的表弟. 我們在 wiki 可以查到他的生平, 所以他也可以稱得上是一號人物, 他的貢獻是在優生學方面.

據說高爾頓對於數字有偏執性的愛好, 無論是什麼東西, 他都想要取得相關的數據. 甚至於他的口袋就有兩張卡片, 如果在路上遇見正妞, 就在左邊口袋的卡片打個洞, 若是遇見恐龍妹, 就在右邊口袋的卡片打個洞. 根據這個統計數據, 他 "發現" 倫敦的女人分數最高, 亞伯丁的女人其貌最寢~~~總之, 他酷愛數字, 為了測量一位難以接近的非洲美女的三圍, 還會動用三角函數, 皮尺與六分儀, 總之他非要知道具體數字不可.

雖然前面的這些敘述, 讓這位古怪的高爾頓先生看起來像是個維多利亞時代的登徒子, 不過收集這些數字對他來說純粹只是因為好奇. 他對所有的數字都感到興趣, 因而做了許許多多的實驗與統計. 分析這些數字之後, 常態分佈與趨均回歸就在其中矣! 因此高爾頓先生其實是一位學者. 

在高爾頓之前, 在這個方面最有成就的是比利時人凱特爾 (Lambert Adolphe Jacques Quetelet). 凱特爾喜歡研究社會現象與機率, 出版過一本 "論人類及其才能的發展", 這本書討論人的才能, 並且用法文的社會生理" (physique social) 來詮釋才能這個名詞. 凱特爾進一步認為, 如果統計一整個社會所有人的特性, 就會得到一個 "平均人" (average man), 這個平均人跨越性別, 種族與年紀, 代表這個社會的平均值.

即便本土正港台灣人可能不屑於與外來的政權的外省人平均在一起, 但是在這個分裂的台灣, 還是曾經有一個代表性的人物叫做 "李表哥", 他和 "山姆大叔" 代表美國人一樣, 是個由漫畫家勞瑞操刀的 "平均人". 另一方面, 由於硬是要指稱所有的社會都是常態分布的確是有點矯枉過正, 因此與凱特爾同一時期的庫爾諾 (Antoine-Augustin Cournot) 就大力地反對這個觀念.

高爾頓繼承了凱特爾的觀念, 認為凡事都屬常態分布. 此外, 他特別注重於極端的狀況. 因此他在他最重要的著作 "遺傳天賦" (Hereditary Genius) 一書當中, 就估計過天才的百分比. 大致上,  他認為已過中年的英國人, 每 4~5 千個人當中, 有一個人可以擁有傑出的評價. 相反地, 每 400 個人當中, 就有一個白癡. (假如大家都同意常態分布是對稱的, 那麼白癡的標準未免也太寬鬆了…呵呵呵). 這個天才與白癡的觀念, 影響後世相當大, 後來甚至被拿來當作種族滅絕的藉口.

高爾頓的實驗證明, 常態分佈無所不在. 無論是鋼珠的分佈, 甚至於是已分佈鋼珠的再重新掉落一次, 落點仍然是常態分佈. 但如果僅僅是重新證明一次常態分佈, 那麼高爾頓不過是凱特爾第二, , 高斯第三, 或是第四個棣美弗; 高爾頓比前人更突破的地方在於他發現了趨均回歸. 

什麼是趨均回歸呢? 它有一點點 "平均人" 的味道. 就以七類大小不同的豌豆為例, 每一種都有十個樣本. 但是到了它們的子代, 大豌豆的小孩雖大, 但沒那麼大了, 小豌豆的小孩雖小, 但也沒那麼小了. 過於懸殊的 "天才豌豆" 和 "白癡豌豆" 並沒有完全重現在下一代. 這表示特例並不那麼容易重現, 或許要多做幾次實驗, 才可以再看到特大豌豆出現, 甚至它的親代並不是特大豌豆, 而是個大豌豆而已.

豌豆直徑 in 1% 吋
親代 15 16 17 18 19 20 21
子代 15.4 15.7 16 16.3 16.6 17 17.3

 

最近辦公室裏面多了很多新手爸爸, 新手媽媽, 準爸爸與準媽媽. 大家對於下一代可能都有所期許, 不過高爾頓的實驗告訴大家不要想太多, 一切都是命啊! 高個爸爸與高個媽媽生出的孩子大致上是個高個子, 但是依據趨均回歸, 這孩子並不見得會比爸媽都高. 若是多生幾個的話, 倒是有很大的機會生出個長人來! 同樣地若是各位的身高在兄弟姊妹中是比較矮的, 那麼到了子代就有較大的機會生出比自己高的子女. 當然, 現在的小孩營養愈來愈好, 還是要額外加個幾公分, 算是考慮到近來營養與健康上的進步. 

"Against the Gods" 為何從討論機率, 變成討論優生學了呢? 主要是因為股市也有趨均回歸. 大家都說漲多必跌, 有什麼理論根據嗎? 有的, 那就是趨均回歸. 股市加權指數就像現代人的身高一樣節節高升. 日本人的身高在第二次世界大戰後大幅地上揚幾十公分, 一如美國道瓊工業指數從幾百點變成了幾萬點. 然而, 道瓊工業指數有條件漲到百萬點嗎? 我想那和日本人平均身高變成 2 公尺一樣遙不可及.

趨均回歸是我們考慮風險時, 不能忘記的一個因素. 巴菲特, 葛拉漢其實都是趨均回歸的奉行者, 被低估的總有一天會獲得平反. 不只是單一的股票, 連投資組合, 或是一整個國家都難逃趨均回歸的魔咒. 大家也許會痛罵政府無能, 讓台灣的經濟奇蹟變成過往雲煙. 事實上, 想要維持永遠的榮景, 並不是那麼容易的. 一國的強, 就是他國的弱. 羅馬帝國, 奧匈帝國, 秦漢唐元不都滅了嗎? 贏家一直贏的可能性很低, 只是 "一直" 代表多久沒有人知道.

以上整理自 "Against the Gods", 第 9 章, 第 10 章.