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本來整理完《量子物理史話 – 上帝擲骰子嗎?》 之後，我想換個話題。不過研究了幾個 AI 的題目都是死路，只好請龍蝦幫我打包成短篇，發表在她的部落格。另一方面，這個周末 Youtube 演算法一直狂推相關的影片給我，害我看到新題目又產生了好奇心。

在前一本書中，作者輕描淡寫地提到：時間和另外三維有明顯的區別，它不像 X、Y、Z 軸一樣可正可負，我們可以前進後退、上下左右亂跳，但是時間呢，過去就過去了，想回到上一微秒都不行。這樣的四度 (維) 空間是不是有點牽強呢？

打開這個話題之後，明眼人一定可以發現，時間的單位跟別人就不一樣啊？它是秒，人家都是米。這能互相比較嗎？其實這個問題不難解決，速度 x 時間 = 距離。我們有個愛因斯坦保證的常數 – 光速可以用，秒乘上光速就變成米了。這樣一來 x、y、z、Ct 就是四度空間。

只是這個 Ct 相對有點大，一秒就轉換成了 30 萬公里。使得我們平日常用的長寬高顯得很渺小。即使是鯤和鵬這種不知幾千里的大小 [1]，放在時間軸上都很遜色。只有星球的尺度跟它比較相稱。

搞定單位之後，我們再來看四維時空和四度空間的不同。在赫爾曼·閔考斯基 ( Hermann Minkowski) [2] 之前，基於空間和時間的單位不同，沒有人把他們當作同一類的東西。在牛頓觀點裡：物體只是在空間中隨時間移動。即使是 Minkowski 的學生 – 愛因斯坦在 1905 年的狹義相對論中，也把他們分開處理：

• 光速對所有慣性系統都固定，同時性是相對的 (相對論名稱的由來)
• 時間會膨脹
• 長度會收縮

直觀來說，物體移動時，空間、時間各自被修正，以保證光速不變。數學上，用勞倫斯轉換 [3] 就可以計算出來。

從 Minkowski 的角度看，物體不是 “三維東西在時間中變化"，而是：物體是一條延伸在四維時空中的世界線 (world line)。在同一個時空間隔 S 守恆下，時間和空間可以互相補償。S  是指兩事件之間的變化量，故同一個事件下，S = 0。

s²=x²+y²+z²−c²t²

至於為何 t 的符號跟別人不一樣？我們可以理解為 S = 0 的時候，x、y、z 就是移動量，移動量就是用速度 x 時間表達。

• x²+y²+z²−c²t² = 0
• x²+y²+z² = c²t²

好，我們接受這樣的設定以後，世界變得有什麼不同呢？對於一個固定的 t，這個公式代表一個球。假如大家忘記小時候學的公式的話，我幫大家複習，這裡的 ct 就是 r。

x²+y²+z² = c²t²

我們把所有的 t 都考慮進來，無論 t 是正是負，這些不同半徑的球疊在一起，它們的邊就成了一個光錐，光錐的圓周就是對應某個 t 的球的切面的圓周。

本圖來自 [2]

t > 0 表示未來， t < 0 表示過去。無論如何，x、y、z 怎麼變都逃不出 ct 的範圍， 也就是被光速所限制住。這點也滿足了狹義相對論。

這東西還有啥用呢？

假如在 t=0 時，我站在原點，而在 $x=x_1$​ 處發生一個事件 ，由於它位於我的光錐之外。我當下不可能知道它。至於未來我是否能知道，就取決於該事件的訊號，有沒有沿著光速或低於光速的世界線傳到我的世界線上。我們簡化一點， 想像 2D 的狀況就好。假設該事件斜率 (CΔt /Δx​) 很大，最後在某個 t 進到我的光錐，那我就會察覺這件事。

若雙方的世界線沒有交集，則我永遠不會知道發生了該事件。例如說有個超光速太空船從我的身旁出發，t₁= 0，x₁ → 0，理論上它就不會再進入我的光錐了，只要它不減速，我就永遠跟它斷 (世界) 線失聯。因為 CΔt /Δx​ 很小的話，太空船幾乎貼著 x 軸走，當然就不會進到光錐。

對於宇宙中的另外一位次光速移動的觀察者來說，他是以 (t₁‘, x₁‘) 和 (t₂‘, x₂‘) 這兩個時間點來看這艘太空船。根據勞倫斯轉換：

Δt′=γ(Δt−vΔx​ / c²)

其中：

• Δt=t₂​−t_1​
• Δx=x_2​−x_1​
• γ = 1/√(1 − v²/c²) or (1 − v²/c²)^-1/2

因為太空船是超光速運動，對於以次光速 v 運動的觀察者，會看到太空船比光速快：

• ∣Δx∣ > c ∣Δt∣ or
• ∣Δx∣ /c > ∣Δt∣ — (1)

而勞倫斯轉換的表示式 vΔx​ / c² = v/c * Δx​ / c < Δx​ / c，因為 v/c < 1，v < c — (2)

(1) 和 (2) 是同時成立的，∣Δt∣ 和 vΔx​ / c² 比∣Δx∣ /c 、Δx​ / c 小。

我們如果找出一個範圍的 v，

使得 Δt < vΔx​ / c² < Δx /c，當然也就滿足 Δt − vΔx​ / c² < 0，

依定義 Δt′= γ(Δt−vΔx​ / c²)，也就得到 Δt′< 0，因為勞倫斯轉換 γ > 0。

Δt′ < 0 是什麼意思呢？這就所謂的 “先看到太空船抵達、才看到太空船出發。" 的因果悖論。因此在狹義相對論裡，物體不允許超光速，否則可能會產生不可解釋的悖論。

至於這個剛好存在的 v 要滿足什麼條件呢？

從 Δt − vΔx​ / c² < 0 直接推導，就是 v > Δt​ *c² / Δx 。

這表示 v 有下限，它也不能太慢。但是當太空船愈快，Δx / Δt​ 比光速快得愈多 ，v 的條件就愈容易被滿足，愈容易有悖論。

這裡補充一下定義，光錐裡面的世界叫做類時事件 (timelike event)，比較偏時間因果可以解釋。光錐外面的世界叫做類空事件 (spacelike event)，此處因果關係可能發生混亂。光錐本體上的事件叫做類光事件 (lightlike event)，只有光速可以連結兩個事件。例如太陽發光，地球人八分鐘後才收到。它可以想像成在負 8 分鐘的時間就有個 event 在光錐上，當時間為 0，我們在原點觀察到。

故事就這樣結束了嗎？還差一點點。我們一直在講狹義相對論，萬一有人想知道廣義相對論的 case 呢? (有嗎? 哈！) 基本上上述的邏輯大部分都完整保留。

• 因果關係仍由光錐決定
• 我現在看到的是過去的延伸
• 過去光錐 / 未來光錐仍有意義

不一樣的是，在廣義相對論裡，每一個時空點附近都可以近似看成局部平直，但是光錐會被引力掰彎。尤其在黑洞附近：一旦進入事件視界，所有未來方向都指向更小半徑，光錐會往內傾，被拉向黑洞中心。隨著時間過去，光錐半徑愈來愈小，收斂到一個奇點。只剩一個點還能玩啥呢？哈！完！

[REF]

1. 莊子/逍遙遊 – 維基文庫，自由的圖書館
2. Hermann Minkowski – Wikipedia
3. 洛倫茲變換不用背，從「時空間隔不變」推給你看