日期: 2009 年 6 月 5 日

話說有個債券之神葛洛斯, 他以投資債券見長. 不過在一般人, 包括我, 的心中, 應該看不透債券有什麼搞頭, 不就跟定存單一樣嗎?

然而, 讀計量經濟的人不是這樣想的, 他們心目中的債券利率, 並不是債券上的票面利率. 包括每個公司的可轉債, 其價值都不是票面利率, 甚至於無票面利息的債券, 都有投資的價值.

假設有一個固定收益的債券, 每半年會配發 6% 的利息, 10 年後到期, 可獲得 1,000 元. 那麼這張債券應該賣少錢呢?

由於利息會併入根據複利的計算:

PV = 1,000 / (1+6/200)²⁰ = 553.68

但是, 這只不過是說明了在債券標售的時候, 它合理的售價. 若是不在第一天就持有, 而是在這 10 年間做買賣的話, 它的價值就不是 553.68 元了. 這個價值因為會隨著時間變動, 因此 maturity 才會有價值~~~

比方說現在存款利率變了, 那麼這張債券的價值也會改變! 兩者怎麼比較呢? 我們可以用一個 yield 來表示新的利率. 半導體業講 yield rate, 金融界也講 yield rate. 假設 yield 愈高, 亦即同樣的錢拿去存銀行, 利率都比債券高. 那麼債券的價值當然是下滑.

假如想要速算利率波動對於票面利率 6% 的債券價值的影響, 那就得用到泰勒展開式. 假如兩者利率差一大截, 就算是數學白癡都可以感覺得出來, 那麼當然是用不到公式了.

泰勒展開式先假設一個 function 可以用 f(y+Δh) = a₀ + a₁Δh+ a₂Δh² + a₃Δh³ + … 來表示.

那麼分別設 Δh =0、 一次微分後, 再設 Δh =0 、二次微分後, 再設 Δh =0、…

就可以求出 a₀ 、 a₁、a₂、a₃ 等等,

帶回原式, 得到在特定的 y₀ 點附近, 

f(y₀  +Δh) = f(y₀ )+ f'(y₀) Δh+ f(y₀)"/2 Δh ² + …

或者

=f(y₀ ) – [ D^*_×f(y₀ )]/] Δh+ [C^_×f(y₀ )]/2 Δh ² + …

 

其中

 

 

T=20 表示 10 年共有 20 期, y 表示原始的 yield rate.

D^*= T/(1+y)^T = 20/(1+6/200) = 19.42

新的 PV = 553.68 (1-9.71_^×0.01+ 98.97_^×0.01²)= 502.66

這表示利率上漲, 債券的價值降低. 這稱之為 discount bond. 反之, 利率大跌, 債券的價值就上升, 這稱之為 premium bond,  表示溢價. 當利率不變的話, 稱為 par bond, 感覺是高爾夫球打了標準桿.

我想葛洛斯應該就是把這些債券賣來賣去而賺錢的吧!

[reference]

債券天王葛洛斯 敢嗆聲更勇於認錯

Figuring a Bond’s Worth

2009/6/14 補充

f'(y₀) 這種一次微分, 又叫做 dollar duration (DD). f'(y₀) = DD = -D* ^_× f(y₀ )

f"(y₀) 這種二次微分, 又叫做 dollar convexity (DC). f"(y₀) = DC = C ^_× f(y₀ )