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19 世紀末，物理界一切都很明朗了，只剩下兩朵烏雲。

第一朵就是以太與電磁理論的問題。最後引出了狹義相對論。

第二朵是黑體輻射的理論和實驗數據不符。最後引出了量子力學。

黑體是理想化物體，能完全吸收入射電磁波，不反射也不透射。更重要的是，當它處於某個溫度時，會發出只由溫度決定的熱輻射。問題在於：這種輻射在不同波長上的能量分佈，古典理論無法正確解釋。

波長短的時候，用維恩公式比較好：λ 是波長，T 是絕對溫度。其他都是常數。

波長長的時候， 用 Rayleigh–Jeans 公式 (經典電磁 + 熱力學) 比較好。如果波長極短，能量會趨近無限大，人稱紫外災難。

對於傳統亞洲人來說，最好的方法就是把兩個都背起來。但馬克思 · 普朗克 (Max Carl Ernst Ludwig Planck）或是周星馳就不會這麼做。食神把它做成撒尿牛丸。

1900 年，普朗克把一個公式同時近似兩個公式。C 是光速。

雖然他不知道怎麼解釋這個拼接物，但他給出了最重要的結論：“必須假定，能量在發射和吸收的時候，不是連續不斷，而是分成一份一份的。”

普朗克把它稱作“能量子”（Energieelement），但随後很快，在另一篇論文
裡，他就改稱為“量子”（Elementarquantum），英語就是 quantum。一份的能量大小就是頻率乘上普朗克常數 h = 6.626×10^-34 焦耳*秒。

前言介紹完了，現在進入主題。

[光電效應] 光作為一種波動，它的強度代表了它的能量；增強光的強度，理應能打出能量更高的電子。但實驗表明，增加光的強度只能打出數量更多的電子，卻不能增加電子的能量。若要打出能量更高的電子，就必須提高照射光線的頻率 (p. 32) 。而且每種材料都存在截止頻率；若入射光頻率低於此值，再強的光也無法打出電子。

頻率不對就不來電？美少女知道，愛因斯坦也知道。他發現 E = hν 的話，用頻率 ν 和普朗克常數 h，就能計算出這一份的能量大小。而光子具有動量 p=h/λ，在之後的康普頓散射等現象中得到明確支持。

[粒派量子]1905 年，愛因斯坦發表論文，把它命名為 “光量子”（light quanta）。1926 年，美國物理學家劉易斯（G.N.Lewis）把它換成了今天常用的名詞，叫做 “光子”（photon）。

時間回到 1885 年，瑞士一位數學教師巴爾末（Johann Balmer） 發現氫原子的光譜線分別是 656，484，434，410，397，388，383，380……奈米，他導出一個公式 1 / λ ＝R（1/2² – 1/n²）。

其中的 R 是一個常數，稱為里德伯（Rydberg）常數，n 是大於 2 的正整數。我想這位老兄考門薩智力測驗應該沒問題。

[粒派量子] 1913 年，尼爾斯·波耳（Niels Bohr）用巴爾末公式解釋了氫原子光譜為何是不連續的。n = 2、3、4…這不就是量子嗎？ (AI 說太跳了) 因為光譜線只出現在某些離散波長，暗示原子內部的能量交換不是連續的。波耳進一步將這種離散性解釋為電子只能存在於某些特定能階。

當然，他不只是做了這件事，他的理論解釋了前輩恩内斯特.拉塞福 (Ernest Rutherford) 的原子模型。不然電子一直繞原子核轉，加速度運動會輻射電磁波，能量用光後軌道應該塌縮，那所有的元素都不會存在了。有個能階，就有台階可以下。

[粒派量子] 1923 年，康普頓 (A.H.Compton) 發現 X 射線被自由電子散射時，散射出來的 X 射線分成兩個部分，一部分和原來的入射射線波長相同，而另一部分的波長卻比原來的射線要長。

如果把光子當成粒子，不僅帶有能量，還具有動量，當它與電子相撞時，便將自己的一部分能量轉移給電子。這樣一來，光子的能量下降，根據公式 E = hν，E 下降導致 ν 下降，頻率變小，也就是波長變大。這解釋完美。

第三次波粒戰爭再起，波方以馬克斯威爾方程式守住陣地，但無力反攻。反倒是粒派從光子打到電子家裡來。

[波派量子] 1923 年，路易斯•維克托•皮雷•雷蒙•德•布羅意王子（Prince Louis Victor Pierre Raymond de Broglie）出場。他認為粒子如果也有波動性，那麼波峰移動時會有個相速度 v_phase，我們也就可以定義出它的頻率和波長。

v_phase = νλ

其中 E = hν (光電效應)，p = h / λ (實驗值)，帶進去把 h 消掉

v_phase = E / p

先忽略掉相對論 γ 中勞侖茲因子 (Lorentz factor) 要怎麼算，設它為 1 也可以。因為 E = γ mc² (質能轉換) 和 P = γ mv₀ (傳統力學) ，同時計算就把它消掉了。

v_phase = γmc² / γmv₀ ，把 γ 和質量都消掉

v_phase = c² / v₀

OK！假如粒子以 v₀ 的速度移動，它會有一個相位速度 c² / v₀ 的波跟著它。這個波他命名為相波 (phase wave) 或是人稱 “德布羅意波"。值得說一嘴的是，它比光速快。不過它是相速度，沒有違反相對論。

挑戰者問德布羅意說，假如電子也是個波，你能證明它會衍射嗎？德布羅意預言這會被證明，結果真的不用自己動手。

[波派量子]1925 年 4 月，美國戴維遜 (C.J.Davisson）和革末（L. H. Germer）在電子束轟擊鎳晶體的實驗中，觀察到電子繞射現象，證實了電子的波動性。1927 年，G.P. 湯姆遜也以電子穿透薄膜的繞射實驗支持了這件事。

好的，粒子都有波的特性了。我們都是一家人，還有什麼好戰的呢？ 問題出在量子還沒有解釋所有的事情。例如，在弱磁場下，有時譜線會分裂，被稱作 “反常賽曼效應"。半整數個量子要怎麼解釋？更別說此時在科學家在兩個電子的氦原子上都沒能找出規律。

後面要看的，就是各家大神怎麼解釋波粒二象性了——不只是光子，也不只是電子。

2026/4/21 (二)

旅行接近尾聲，我們從克羅埃西亞離開歐盟，進入蒙地內哥羅這個國家。除了台灣，大部分的國家都叫它 “黑山共和國"，只差在從音譯和意譯。Monte 即是山，negro 就是黑色。

黑山這個國名來自於他們有很多這種高高的直立深色的樹 (杉木?)，遠看就是一片黑黑的山。我們的路程會有一小段渡輪，不然沿著海岸開車會花很多時間。下圖是在渡輪上的 Google Map 截圖，我們可以看到該國同時使用拉丁字母和西里爾字母。

黑山很想加入歐盟，他們使用大量的拉丁字母來取代原生的西里爾字母，不用自己的貨幣而是使用歐元。但是它從 2008 年開始申請，到現在歐盟也還沒有批准，團員們認為就是因為它比較窮，可能會扯後腿的。

Monica AI 提供的數據如下：

1. 斯洛維尼亞
   平均月薪：約 €1,300 – €1,500（新台幣約 42,000 – 48,000）
2. 台灣
   平均月薪：約 NT$50,000 – NT$55,000（約 €1,500 – €1,650）
3. 克羅埃西亞
   平均月薪：約 €1,000 – €1,200（新台幣約 32,000 – 38,000）
4. 蒙特內哥羅（黑山）
   平均月薪：約 €700 – €900（新台幣約 22,000 – 28,000）
5. 越南
   平均月薪：約 $250 – $400（新台幣約 7,500 – 12,000）

過海關之後，我們參觀科托古城。這個城市以愛貓聞名。主要是因為這裡本來就有很多貓，所以黑死病期間，老鼠不太敢進來，使得他們的疫情比較輕微。這邊還有個貓的博物館，我們沒有進去參觀，外觀也看不出什麼。導遊說門票是做公益用。下圖右是城門入口所對到的鐘和恥辱柱。

建築的形式是導遊介紹的重點，下圖中是天主教科托主教座堂。聖尼古拉斯教堂 (下圖左)和聖盧克教堂 (下圖右) 都是東正教形式。聖盧克教堂同時有天主教和東正教的祭壇是一大特點。

下午本來有自由活動時間可以去走科托的城牆。但是此時下起了暴雨。只能邊躲雨邊看紀念品店。

然後就驅車前往首都波多哥理查，然而我們已經沒有行程了，只是去這個 (導遊說的) 比馬祖機場還要小的國際機場搭飛機回家。

這個機場出境之後只有兩家店，一家免稅店，一家賣吃的喝的。一個麵包 6.9 歐，一個小便當盒 14 歐，基本就是敲盤子。我們入境黑山的第一家休息站，每包零食只要一歐，有人買了一堆，吃不完還得找人幫忙吃，那個才是他們真正的物價水準。連上廁所都只要 0.5 歐元，至於科托古城這種景點，上公廁還是要 1 歐啦！

這次在伊斯坦堡轉機時，土航的貴賓室已經整修完畢，不像去年跟難民營一樣那麼擁擠了。雖然老婆說飛機餐也有 cost down (沒小罐蜂蜜和橄欖油)，但是油價漲了我們早鳥的團費都沒漲，已經有賺。

BTW，這些皮克敏沒有幾個月是回不來了。現在我只能小本經營。