標籤: 顯著

用 AI 的壞處 – 你幾乎可以問任何問題，它也會認真回答你。 問得愈有水準，答案的神念 [1] 禁制 [2] 就愈多層。我好奇心重，最近問了 AI 三五個大難題，所以它的答案累積起來已經有幾百層禁制了。我的靈力有限，先破解幾個相對簡單的。身為偽資料科學家，就先來整理這個 Wilcoxon [3] 符號等級檢定。

為什麼需要符號檢定？它主要是用來判斷數據是否達到統計上的顯著性。假設我用一個特殊手法 X ，想要降功耗。然後我拿了一顆 IC 來做實驗，測試改善前和改善後的功耗，一量果然降了 5 mW，這樣算有改進嗎？ 還是要改進 5% 才算？又或者至少要減個 10 mW？Wilcoxon 符號等級檢定就是要解決這個問題 – 什麼是顯著性？

讓我先用 10 顆 IC 來舉例，稍後再回頭看最少需要幾顆 IC 來驗證？

mW	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
前	15	18	12	13	14	17	16	15	14	15
後	13	15	12	13	13	15	14	13	12	13

所謂符號檢定，就是要看改變的方向是否一致？是正號還是負號？

第一步：算出每顆 IC 的差異值（後－前）

#	前	後	差異(後-前)
1	15	13	-2
2	18	15	-3
3	12	12	0
4	13	13	0
5	14	13	-1
6	17	15	-2
7	16	14	-2
8	15	13	-2
9	14	12	-2
10	15	13	-2

其中有 8 顆 IC 都同方向，有兩顆不變 (#3 和 #4)，他們沒有方向。Wilcoxon 就不算這兩顆，有效樣本是 n = 8。

第二步：對剩下 8 個差異的絕對值排等級

剩下值的差異：-2, -3, -1, -2, -2, -2, -2, -2
絕對值：2, 3, 1, 2, 2, 2, 2, 2

排序：1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3

• 絕對值=1 → 排名第1 → rank=1
• 絕對值=2（六個並列）→ 佔第2~7名 → 平均等級 = (2+3+4+5+6+7)/6 = 4.5
• 絕對值=3 → 排名第8 → rank=8

代回原資料：

#	差異	等級	正/負
1	-2	4.5	負
2	-3	8	負
5	-1	1	負
6	-2	4.5	負
7	-2	4.5	負
8	-2	4.5	負
9	-2	4.5	負
10	-2	4.5	負

全部 8 個都是負等級！ 正等級總和 T₊ = 0，負等級總和 T_–= 1+4.5×6+8 = 36

第三步：算期望值與變異數（n=8，含 ties 校正）

$$\mu_T = \frac{n(n+1)}{4} = \frac{8\times9}{4} = 18$$

未校正變異數：

$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{24} = \frac{8\times9\times17}{24} = 51$$

因為有 6 個值並列（tie），要扣掉 ties 校正項：

$$\frac{t^3-t}{48} = \frac{6^3-6}{48} = \frac{210}{48} = 4.375$$

校正後變異數：

$$\sigma_T^2 = 51 – 4.375 = 46.625 \quad\Rightarrow\quad \sigma_T = \sqrt{46.625} \approx 6.828$$

其中，第一、二、三步的分母 4、24、48 都是常數，不是隨便設的 [4]。

第四步：算 Z 值

$$Z = \frac{T_+ – \mu_T}{\sigma_T} = \frac{0 – 18}{6.828} \approx \boxed{-2.636}$$

第五步：算 p 值

$$p = 2\times P(Z’>2.636) \approx \boxed{0.008}$$

P 怎麼來? 它就是常態分佈 (μ_T , σ_T) ，超出 Z 值的左右兩邊長尾面積的和。

不用作圖，有三種方法解決：

• 查表：統計課本後面附的「標準常態分布表」(Z table)，直接查 Z=2.64 對應的累積機率，再算 1 減掉它、乘 2。
• 公式（累積分布函數 CDF）：

$$p = 2\times[1-\Phi(2.636)]$$

其中 Φ 是標準常態的 CDF，這是一個已經被證明、寫死在數學公式/查表/軟體裡的函數，不需要「目測」曲線。

• 軟體直接算：SPSS、Excel（=2*(1-NORM.S.DIST(2.636,TRUE))）、Python（scipy.stats.norm.sf）都是呼叫同一個 CDF 公式算出來的。

判定

• 有效 n = 8（10 筆中 2 筆差異為 0 被排除）
• 8 顆 IC 全部都是「後 < 前」，沒有一個例外 → 最極端的一致性
• Z = -2.636，p = 0.008 < 0.05 = 5% → 達顯著差異，「後」顯著低於「前」

其中的 5% 就是一般人印象中，約定俗成的 α 顯著水準。所以 5% 是對的，但是不能只看一次的測試達到 5% 就過關。而且有效樣本 n ≤ 5 時，無論效果多完美都不可能顯著。

用 Wilcoxon 符號等級檢定的精確分布（exact test）計算「全部差異都同方向」這個最極端情況的雙尾 p 值：

n（配對數）	最極端情況下的 p 值	結果
5	0.0625	❌ 不顯著
6	0.0312	✅ 顯著
7	0.0156	✅ 顯著
10（你這次）	0.0020	✅ 顯著

也就是說：n=6 是這個檢定理論上能達到顯著的最小樣本量（前提是 6 個有效樣本全部同方向、無一例外）。n=5 或更少時，就算 5 個樣本全部同方向，p 值最好也只能到 0.0625，永遠過不了 0.05 這個門檻。

以上就是關於 Wilcoxon 符號等級檢定的備份錄。

[REF]

1. 什麼是「神念」？
   核心概念：神念（或稱神識）是修仙者強大靈魂力量的延伸，類似於一種高級的精神感知力。修仙者可以用它來探查四周、傳遞訊息，甚至發動精神攻擊。
2. 什麼是「禁制」？
   功能作用：主要用於保護寶物、封鎖特定區域（如洞府、宗門重地）或限制他人行動。
   觸發後果：未經允許強行闖入或破解，會觸發禁制，輕則發出警訊、將人彈開，重則釋放強大攻擊（如神雷、烈火）將入侵者消滅。
3. Frank Wilcoxon（1892年—1965年），是一位美國的統計學家和化學家。他在 1945 年提出了著名的非參數統計驗證方法，包括 “符號等級檢定" (Wilcoxon signed-rank test）與 “等級和檢驗" (Wilcoxon rank-sum test）。
4. 常數的由來，也算一層禁制。想知道的才按 “閱讀全文"。
   

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