標籤: 相對論

在彎曲的時空中, 要怎麼樣移動時鐘, 才能在 100 秒的時間內, 取得時鐘上最長的時間呢? 費曼出了一個小問題讓我們猜.

根據前一篇的整理, 時鐘拿高就會變快; 鐘走得快, 時間計數器的數字就會變大啦! 不過, 既然有 100 秒的限制, 想要把時鐘拿得很高的話, 是不是要移動地很快呢? 不幸的是, 加速度一出現, 時間就變慢了. 因此在 100 秒內拿到非常非常高的話, 讓時間變快的美意就被加速度導致時間變慢所抵銷了!

時間變慢的因子是 w = w₀ sqrt(1 – v²/C²)

時間變快的因子是 w = w₀ (1+gH/c²)

兩者抵銷的話, DW=w₀/c² * (gH-v²/2)

 

所以將時鐘稍加移動, 的確可以讓時鐘走得比較久一點. 我們跳過一下計算過程, 就會得到: 如果對下面的式子最佳化, 就可以讓時鐘走得最久.

∫(mv²/2-mΦ)dt = 最小值

大家可以看出來, 積分中的這兩項就是動能和位能的公式. 把時鐘移高就是增加位能, 讓時鐘移動, 就是增加動能. 當兩者平衡的時候, 就像人造衛星環繞地球一樣. 乘坐人造衛星 (動能位能平衡) 就是讓時鐘跑得最久的一條路徑.

基於如此, 愛因斯坦得出兩條重力定律:

1. 曲律可以用逾半徑表示, 逾半徑的大小與球內的質量成正比. 它又叫做愛因斯坦場方程式 (Einstein’s field equation)

逾半徑 = GM/3c²   與運動速度完全無關

2. 在相同的初始條件與終端條件下, 物體的運動路徑總是原時 (proper time = 移動時鐘上的時間) 為最大的那一條路徑. 它又叫做愛因斯坦運動方程式 (Einstein’s  equation of motion)

另外, 有人試著將上面的重力定律與牛頓定律, 或是電動力學相整合, 但是在數學上是失敗的, 因此這兩個式子是以文字的方式出現.

一般來說, 它和牛頓力學算出來的結果相當符合, 不過也有例外. 愛因斯坦就找出三個例證, 包括水星的軌道不是固定的橢圓形, 因為水星太靠近太陽, 所以它的光線在太陽附近會偏折等等.

費曼說, 凡是牛頓力學與愛因斯坦理論相牴觸時, 都是愛因斯坦對. 這就是費曼的六堂簡易相對論第六章的內容.

上次寫到質量使空間彎曲, 但還沒有提到時間.

http://www.cash.idv.tw/wordpress/?p=889

假設在無重力的狀態之下, 隨便動一動, 產生了加速度的話, 那麼時間可是會變慢的. 怎麼解釋呢? 費曼跳過了沒說, 所以我也暫不瞎掰. 等我找到好的說法, 再加上來.

換句話說, 從 A 點到 B 點, 想要慢慢拖長手錶上的時間的話, 就要沿著 AB 這條直線作等速運動. 這樣手錶上看起我們會活最久, 但這個久並沒有意義. 因為以火箭般高速在 AB 間移動的人, 過得是另一套時間標準, 但是兩者無法直接比較. 除非是搭火箭的人在 B 點與等速移動的人會合, 當然要稍待一段時間. 那麼此時才會發現等速運動的人過了 100 秒, 而加速度運動的人只過了 95 秒.

加速度運動的人花了等速運動的人眼中的 100 秒到達 B 點時, 因為他速度較快, 所以可以推定他走的路線較長. 因此在空間中, 兩點之間最近的距離是直線, 但是這卻是最長時間的路徑. 如果繞遠路快跑又同時 (100 秒) 達到 B 的話, 距離雖然變長了, 但是時間感覺比較 “短" 喔 (95 秒)!

之所以有這個奇怪的現象, 那是因為相對論的時間那一項, 符號與空間三軸的分量相反. (這句也是等我搞懂再解釋, 因為我跳過了前五章). 總而言之, 所謂直線運動, 亦即沿一直線等速運動, 那麼手錶所記錄下的時間, 將會是時間最長的一種. 時間最久的路, 就是直線.

稍微帶過了時間, 接著進入精彩的重力與等效原理.

等效原理 (Einstein’s principle of rquivalence) 可以追溯到伽利略的自由落體定律. 同一處的一切物體, 不論質量, 材質都已完全相同的加速度自由降落. 我們知道這是因為地心引力的關係. 那麼在一艘以 1G 加速度飛行太空船中, 理論上也會看到一模一樣的現象. 這是等效原理中很容易直觀理解的一部分.

接著愛因斯坦就會舉出一些在太空船上看似很合理的現象, 再巧妙地反推到我們熟悉的地球上. 甚麼事呢? 假如太空船的前方與後方各有一個閃燈與接收器, 因為太空船本身的加速度, 會使得 A 點發出的閃光, 提早一點點到達 B 點. 因此從 B 點來接收的話, 它會認為 A 的頻率比它快.

反過來, 如果是B 點發出閃光, A 點來觀察的話. 同樣因為太空船的速度關係. A 點的人會覺得 B 的時間比他慢. 注意喔! 不論從哪一點來看, A 都比 B 快喔. 一切只因為 A 比 B更接近加速前進的方向!

現在反推回來, 地球既然有重力. 那麼時鐘放在高處和低處, 速度也應該不一樣囉! 這就是等效原理的妙用. 重力場中位置較低等效於加速太空船的尾部. 費曼提出用都普勒公式來計算最簡單, 因此高處與低處的時鐘, 差異的頻率就是:

w = w₀ (1+gH/c²)

其中 w₀ 是低處的頻率, w 是從低處觀察到高處的頻率, 不是把時鐘從低處拿到高處的時間. C 還是光速, g 是地球的重力加速度, H 就是這個鐘放的多高. 放在 101 大樓上的時鐘, 就會自然而然走得比路上行人的手表快上一丁點 (還是要強調是行人的觀點, 如果爬到大樓上看它當然還是準的).

當然, 這個差異很難在地球上量到. 高度相差 20 公尺的時鐘, 頻率會相差 2/10¹⁵.不然那些買超精準機械錶的玩家, 以過度精準的硬體去追求一個相對在變的東西,豈不都成了裝孝維.

那麼何謂時空彎曲呢? 前一次我們提到空間彎曲, 這次又加入了時間的因素. 因為一個高處的鐘, 會比低處的鍾走得快. 因此低處的鐘數了一百秒, 所等速移動的距離, 可就比高處的鐘數一百秒移動的距離要長. 兩邊所達到的終點並不在一條垂直線上, 因此我們說時空彎曲了.

好! 再休息一下吧! 下次再來整理第六章最後的精華.

自從上次看到小蟲爬過熱板之後, 算是稍微有了進度

然後, 費曼說明了熱板的用途. 既然熱板可以用來模擬空間的彎曲. 我們就可以溫度有高有低的各種熱板, 模擬出平面, 球面, 甚至是馬鞍形的空間.

接下來我們定義一個重要的東西, 那就是逾半徑. 這是甚麼呢? 這是指我們在估計出我們的空間的大小之後, 不是可以大概算出或量出一個半徑嗎? 兩者的差值就是逾半徑.

逾半徑 = r 實測 – r 估計

實測就是真的去量看看, 估計就是用二維的圓周去除 2p, 或是球的體積去反推. 因為星體, 像是地球, 是圓的, 球形的. 所以適用於這個公式.

r估計 = sqrt(A/2p)

那麼地球的逾半徑又是多少呢? 費曼 (愛因斯坦空間平均曲率定律) 給了一個公式:

逾半徑 = r實測 – sqrt(A/2p) = GM/3C²

其中 G = 地球重力常數 = 6.67×10^-11m³/kgs

M 是地球的質量

至於甚麼是平均曲率呢? 意指可以從局部度量出曲率. 對小蟲來說, 很可能認為這個曲率是0, 因為牠沒有繞過牠的球體或是熱板一周, 所以以牠的小鼻子小眼睛來看, 牠的空間曲率為 0, 但是以我們世外高人來看, 就會看出牠的世界曲率不為 0.

這裡要插播一下, 真的不是我喜歡挑書裡的毛病. 而是印書的人往往太不慎重了! (包括我以前念的國立編譯館的高中教科書, 害我養成挑毛病, 不能一心向學的壞習慣) 明明我們就是不懂才要看書, 你們卻常常印錯, 害我在此卡住好幾分鐘! 覺得 p174 前言不對後語.

既然地球 (星體) 質量為正, 地球重力常數也為正. 一般說來, 逾半徑應該都是正的. 因此我們用地球表面積所推出的 r 估計, 就會比 r 實測 小個 0.15 公分! 這就是為何過去都沒有人發現歐幾里得幾何學不正確的原因. 大致上, 人們看到的幾何學都是正確的, 只因為人們太渺小. 如果人類能量測巨大的東西, 很可能就會發現這個誤差, 例如三角形的內角大於 180 度之類的.

事實上, 從北極到赤道做出一個特殊的三角形的話, 確實可以量出三角形的內角為 270 度 (3 x 90 度), 但這只能證明地球是球形的. 要證明空間會為了質量而彎曲, 以致產生不等於 0 的逾半徑, 那是更進一步的事.

空間彎曲 –> 幾何學不準確

質量 –> 導致 –> 空間彎曲 (更進一步!)

好! 先休息一下! 下次繼續介紹時空彎曲.

 

9/23 那天, 因為晚上睡不著, 只好下樓喝點啤酒, 然後看看 “費曼的六堂簡易相對論". 當然, 費曼是個超級天才, 相對論的簡單版也不是多簡單. 這些都不用說了.  我被困擾的地方, 只是 “剛開始" 的一張插圖而已.

 

因為我不想看第一章複習向量的部分, 想說直接看第六章, 如果看得懂, 前面不就可以跳過了嗎？　呵！所以我的剛開始, 出現得比較晚. 不過看了幾頁還是就卡住了. 原因是下面這張圖.

 

 

費曼說：假設有一個熱板, 愈往外愈熱. 由於熱漲冷縮, 所以愈往外, 膨脹得程度就愈大一點. 而這隻甲蟲, 和甲蟲用的尺都隨之膨脹. 所以當甲蟲畫一條直線的時候, 就會得到一條曲線. 很有趣吧！

 

不過我忽然被那條線迷住了. 如果那條線是往外彎. 那麼整個熱板如果持續變熱,　這條線應該會愈來愈彎, 最後彎到幾乎是 180 度對折才對!

 

那麼, 有沒有可能費曼是隨手畫畫, 其實線要往圓心彎才對呢？　

 

怎麼證明呢？

 

我知道熱板隱含宇宙膨脹的意思, 不過想到前面那些怪怪的問題, 就無暇去想宇宙的長相和時間可不可回溯的問題了. 當然我也就沒有好好睡.

 

Think> 以那條直線來看, 等於是某個 35 度熱的同心圓的一條切線. 所以甲蟲在由 A 點往切點前進的時候, 其實愈走冷, 而且身體和尺在左半邊刻度比較小, 在右半邊刻度比較大. 在這把尺的內緣或是外緣所畫出來的線, 的確都會往外突.

 

如果每兩個半徑間的熱度, 差異愈來愈大, 尺就會變得非常彎. (宇宙 1)

 

如果每兩個半徑間的熱度, 差異也是個定值, 只是大家都加個 100 度. 尺就只會多彎一點點. (宇宙 2)

 

既然愛因斯坦說: 我們的宇宙正在膨脹, 所以兩個溫度相同的人近在咫尺, 卻總是很難相遇. 反之, 當我們看到比較燒的人, 就會不由自主地靠過去, 以至於製造出很多孽緣…

 

呃, 這樣解釋好嗎?