複利怎麼算?

假設公司給我們一筆錢, 不管名目是甚麼, 它都要課稅. 若是撐到退休或是離職的時候才領, 就可以叫做離職金或是退休金, 這部分是免稅的.

如果要計算出何者較為划算? 我發現其實並非顯而易見, 所以特別把它記下來.

假設這筆錢的金額是 x, 繼續在公司待 y 年 (y >= 1), 個人理財投資報酬率是 a, 而所得稅率是 b. 那麼根據以前學過的複利公式:

y 年之後:

立刻領出的人得到 x * (1+a-b) * (1+a)^y-1

而等待退休或離職才領的人得到 x

這樣好像就可以比較了, 不過這裡面有陷阱. 那就是投資報酬率 a  是類似定存這樣, 每個月/年到期給付, 才適用這樣的公式. 此謂之 periodic compounding.

如果這段期間, 採用連續複利計算, 我們把 1 年切成 n 個單位, n →∞, 報酬率 c, 那麼上面的式子就是不含稅的部分以 y 年計息, 以及稅的部分以 1 年計息.

 lim x (1-b) * (1 + c/n)^ny + lim x * b * (1+ c/n)ⁿ, n →∞

既然自然對數的定義就是

e^c = lim (1 + c/n)ⁿ, n →∞

因此可以改寫為

x (1- b) * e^cy – x * b * e^c

這是指複合利率 (continuous compounding interest) .

如果 a = c 的話, 哪一種計息方式利率比較高呢?

當然是連續計息比較高, 周期計息成長到 15 倍的時候, 連續計息已經成長到 20 倍了.

對了, 領出來好, 還是等退休的時候領比較好呢? 這要看個人適用的所得稅稅率 b, 以及理財的報酬率 a. 一般而言, b = 20%, a = 5% 的話, 只要 4 年內不會離退, 還是領出來比較好.

[note] 現在的價值叫做 present value (現值, PV), 未來的價值叫做 future value (期值, FV).