標籤: 高中數學

終於咱家女兒上到了排列組合, 這個令很多人一頭霧水的數學單元. 它大概有幾種情況.

1. N 個不同的東西依序排列, 其順序有意義的話, 第一個位置有 N 個可能, 第二個位置剩下 N -1 種可能, 依此類推, 共有 N! 種排列方式.

2. 如果有 N 種東西, 只能搶 K 個位置, 當然第一個位置仍然有 N 種可能, 第二個位置剩下 N -1 種可能, 第 K 個位置剩下 N – K + 1 個可能. 也就是 Pⁿ_k = N! / (N-K)!.

3. 如果 K 個位置中, N 個東西可以重複出現, 那麼排列就有 N^m 種, 稱為重複排列.

來個應用題, 7 個人搭 3 輛車, 可以有幾種排列方式? P⁷₃? 3⁷, 7³?

如果是 P⁷₃, 其實表示最後只有 3 個人上得了車, 每車一個人. 就像是玩大風吹那樣.

如果是 7³, 表示每輛車可以從 7 個人中選一個人來上車 (我們就假設車子有意志好了), 第一輛車選上了甲, 而在重複排列的條件下, 第二輛車還是可以選甲. 以至於受歡迎的甲會被兩三輛車子載走 (how? 聽起來不合邏輯), 而其他人可能只得乾瞪眼.

因此可以放在假數 (mantissa ) 位置的, 必須是容器, 可以重複出現的. 放在指數 (exponent) 位置的, 必須是獨立不可切割的, 或是獨立事件.

4. 更進一步是, 若排列物的本身就無法分辨其差異, 例如紅球, 白球, 鉛筆之類的東西. 排列出來也要再打個折扣. 也就是要除以不能分辨的子集合的排列數. 三支鉛筆和五個橡皮擦的排列. 將會得到:

(3+5)! / 3!5!

5. 組合的概念和排列不同, 排列強調有序, 組合只考慮一堆一堆的. 這裡會出現大家熟悉的 Cⁿ_k. 也就是從 n 個東西裡面拿出 k 個的組合方式. 既然已經變成無差別的一堆了, 就等於 Pⁿ_k /K! = N! / (N-K)!K! = Cⁿ_k.

由於這個式子和情況 4 的狀態很像, 我們可以想像成把 n 個東西分成兩堆, 第一堆表示選上了, 第二堆表示沒選上. 選上的那堆無差別, 像是紅球或是鉛筆, 另一推落選的也無差別, 像是白球或是橡皮擦.

6. 再來就是重複組合, 重複組合的公式很簡單, 但是觀念比較難. 網路上的這個例題不錯.

候選人４名，選舉人 18 名，且無廢票，下列各種情形之下結果有幾種？解答

1. 記名投票之情形。

2. 不記名投票之情形。

第一小題的答案當然是 4¹⁸.

第二小題的部分, 此時可以把投票結果想像成票有 4 堆, 堆與堆之間用空格來分別那是誰的票.

由於每一堆代表一位候選人的票, 這個排列是有序的. 而選票本身未記名, 所以它是無差別的. 只要插入一些空格, 它完全符合情況 4 的描述.

因此本小題相當於 18 張票和 3 個空格在排列. 我們套用情況 4 的概念, 組合數是 C ^4+18-1 ₃ 或 C ^4+18-1 ₁₈種. 

我覺得女兒的數學考題真是愈來愈刁鑽了. 這次考的題目是:

設一室有 a, b, c, d, e 五個門, 甲乙丙三人由不同的門進出此室各一次, 但每個人不得由同一門進出, 共有幾種方法.

先考慮進去的方法, 假設甲有 5 個選擇, 乙有 4 個選擇, 丙就只剩 3 個選擇, 所以進去的方法有 5 x 4 x 3 = 60 種方法. OK!

出來的方法呢? 女兒說: 甲剩下 4 個選擇, 乙剩下 3 個選擇, 丙剩下 2 個選擇, 所以出來的方法有 4 x 3 x 2 = 24 種方法. 那裡不對?

這個嘛, 寫程式容易 debug 難. 想要指出錯在哪裡還是要 study 一下, 關鍵在於要先摸清題意.

先來看看標準答案:

假設不合法的集合是: A, B, C 三個集合的聯集.

集合 A 是甲從 x 門進又從 x 門出, 集合 B 是乙從 y 門進又從 y 門出, 集合 C 是丙從 z 門進又從 z 門出.

如果先不管是否合法, 甲已經選 x 門進, 又從 x 門出, 乙和丙的選擇共有 4 x 3 = 12 種組合. 乙, 丙依此類推.

若甲已經選 x 門進 x 門出; 乙同樣選 y 門進 y 門出; 則丙只剩 3 個門可以選. 甲丙, 乙丙依此類推.

若甲乙丙都犯規, 組合只有  1 種.

n(X) 表集合內的個數. U 表示聯集, 姑且用  n 表示交集.

60 – n(A U B U C) = 60 – [n(A) + n(B) +n(C)  – n (A n B) – n(A n C) – n(B n C) + n(A n B n C)] 

= 60 – [ 12 + 12 + 12 – 3 – 3 – 3 + 1] = 32

所以不考慮犯規, 進去和出來的方法都是 60  種, 列舉如下:

{a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e},

{a, c, b}, {a, c, d}, {a, c, e},

{a, d, b}, {a, d, c}, {a, d, e},

{a, e, b}, {a, e, c}, {a, e, d},

{b, a, c}, {b, a, d}, {b, a, e},

{b, c, a}, {b, c, d}, {b, c, e},

{b, d, a}, {b, d, c}, {b, d, e},

{b, e, a}, {b, e, c}, {b, e, d},

{c, a, b}, {c, a, d}, {c, a, e},

{c, b, a}, {c, b, d}, {c, b, e},

{c, d, a}, {c, d, b}, {c, d, e},

{c, e, a}, {c, e, b}, {c, e, d},

{d, a, b}, {d, a, c}, {d, a, e},

{d, b, a}, {d, b, c}, {d, b, e},

{d, c, a}, {d, c, b}, {d, c, e},

{d, e, a}, {d, e, b}, {d, e, c},

{e, a, b}, {e, a, c}, {e, a, d},

{e, b, a}, {e, b, c}, {e, b, d},

{e, c, a}, {e, c, b}, {e, c, d},

{e, d, a}, {e, d, b}, {e, d, c},

如果扣掉不合法的集合是怎麼算的? 假設甲乙丙各自由 a, b, c 三門進入. 則扣除出去方法中: a 在開頭的 12 個, b 在第二的 12 個, c 在第三的 12 個, 扣掉重複的確實是 28 個.

{a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e},

{a, c, b}, {a, c, d}, {a, c, e},

{a, d, b}, {a, d, c}, {a, d, e},

{a, e, b}, {a, e, c}, {a, e, d},

{b, a, c}, {b, a, d}, {b, a, e},

{b, c, a}, {b, c, d}, {b, c, e},

{b, d, a}, {b, d, c}, {b, d, e},

{b, e, a}, {b, e, c}, {b, e, d},

{c, a, b}, {c, a, d}, {c, a, e},

{c, b, a}, {c, b, d}, {c, b, e},

{c, d, a}, {c, d, b}, {c, d, e},

{c, e, a}, {c, e, b}, {c, e, d},

{d, a, b}, {d, a, c}, {d, a, e},

{d, b, a}, {d, b, c}, {d, b, e},

{d, c, a}, {d, c, b}, {d, c, e},

{d, e, a}, {d, e, b}, {d, e, c},

{e, a, b}, {e, a, c}, {e, a, d},

{e, b, a}, {e, b, c}, {e, b, d},

{e, c, a}, {e, c, b}, {e, c, d},

{e, d, a}, {e, d, b}, {e, d, c},

不過, 剩下的 32 個答案中還是有 a, b, c 出現對吧! 這也就是說, 即使 a, b, c 三門已經給人走過了, 但這個門只要不是我自己走進來的, 我就可以走出去, 不用管別人走過沒有! 相反地, 在走進來的時候我可是會顧慮有沒有和別人重複走喔?

若是把有 a, b, c 的都劃掉. 喔喔! 至少有一個人走不出去, 因為這樣需要 6 個門才可以, 還少了一個門. 因此題目應該改為下面這樣才不算誤導.

  設一室有 a, b, c, d, e 五個門, 甲乙丙三人由不同的門進入此室, 每個人不得再由同一門走出, 共有幾種方法? 

最後, 女兒說的 4 x 3 x 2 代表啥呢? 要改的地方太多, 不如改個題目吧!

設一室有 a, b, c, d, e 五個門, 甲乙丙三人由不同的門進入此室, 每個人不得再由有人進入的門走出, 共有幾種方法?

啊! 今天報紙上說很多人學測滿級分呢! 真厲害啊…出怪題而不染, 小小年紀就能保持頭腦清醒, 不容易.

我對養兒防老的新體會是: 為了教女兒數學, 必須幫她解答題目, 看到任何題目都得動腦筋以免出糗, 這樣的確比較不會老年癡呆.

每個題目其實都是一個復健的過程. 今天教了一個證明題, 因為有此感慨, 特別記下來.

得證.

於是乎, 左腦功能靠著教小孩來鍛鍊, 右腦則可以靠著 “教了小孩, 但是她還是不會." 來鍛鍊. 哈哈!