作者: Cash

配息債券之價格

上回提到不配息債券的評價方式, 這次來整理有配息的債券.

有配息的債券因為每隔一定的期間就會發一點利息回來, 所以每一次配息就是一個獨立的現金流.

P = ∑t=1T Ct / (1+y)t

 

其中 P 是債券的合理價格 (re-pricing), Ct 是第 t 次的現金流, y 是 yield. 那個 ∑ 就是把 t = 1~T 都加起來. 像是公司配息、老人年金, 都可以用這個模式來計算, 只是 T 假設為無限大.

P = ∑t=1∞ Ct / (1+y)t=cF [1/(1+y)+1/(1+y)2+1/(1+y)3+1/(1+y)4+…] = c/y F

 

其中 c = 配息率 (coupon rate), F 等於面值 (face value), 化簡的部分是用等比公式. 最後的結論就是前次在財務二三事說到的: 價值 = 配息 / 利率

那麼這種債券會受到利率變動的影響嗎? 當然也會囉.

認真地把 dP/dy 微分一下, 就會得到看了就煩的

D = ∑t=1Tt [Ct /(1+y)] /  [∑t=1T Ct / (1+y)t] = ∑t=1T t ×wt

 

為什麼等式最右邊變簡單了? 因為我們把 wt 定義為每次配息現金流對於所有配息現金流的比率了. 這裡給了我們一個啟示.

若是 D 意味著每次配息現金流對於所有配息現金流的比率, 那麼只在最後一次才配息的無配息債券 (zero coupon bond),  豈不是 D  (duration) = 到期日 (maturity). 換句話說, duration 不是隨便起的名字, 它的確有時間的意義在裡面.

至此也可以理解, 當初無配息債券的 D 為何要叫做 modified duration 了. 因為它的 D 應該是到期日 T (存續期間) 才對. 

若是我們算出了另外一個意義上的 D* = T / (1+y), 只好叫它D* 啦!

不含 1/(1+y) 的 D, 它的學名叫做 Macaulay duration. 其數學意義就是價格對利率的微分, 因此可以反映出利率變化後, 價格對應的變化比例.

那麼無止盡存在, 會一直配息的滿帆商事公司的股票 (滿帆商事這家公司在庶務二課這部影集中, 不管內部多爛, 外部多強都倒不了, 故引用之), 它的 duration 又是多少呢?

P = c/y F

D = dP/dy = d [c/y F]/dy = cF (-1/y2) = -1/y ×P = [Dc/(1+y)]×P

此時 Dc = (1+y)/y

那個小  c 是什麼呢? 因為這種公司 consolidated annuities 或 consolidated stock 又簡稱為 consols, 所以用它的 c 來表示. 

Dc 是 duration 的上限, 也就是說, 到了這個 D 年就應該划算了.

假設某家公司的殖利率為 6%, 那麼 17.67 年之後, 買股票所花的錢就拿回來了. 不過 18 年真的很久耶, 薛平貴都從西涼回來了~~~

幸好它只是 upper bound. 因為它是 price 的一次微分, 可以視為 yield-price 曲線的切線. 真的要準一點的話, 至少要考慮 2 次項, 也就是 convexity.

加上 convexity 的影響之後, 因為它隱含 (Δh)2在內, 所以永遠是正的.

若 yield 走高, price 下降, convexity 會讓估計值上升, 夾集出合理的價位.

duraiotn ≤ actual price ≤ duration + convexity

若 yield 走低, price 上升, convexity 會讓估計值更上升, 更準確. 但此時就不會夾集 actual price 了, 不然不是愈修正愈偏差?

duraiotn ≤ duration + convexity ≤ actual price 

三種證券的 D 和 Macaulay duration 並列如下.

zero coupon bond:  modified duration = D* = T / (1+y), T = Macaulay duration

coupon paying coupon: D =  ∑t=1T t ×wt

consols:  D = Dc/ (1+y), Dc = Macaulay duration

還有個 mortgage-backed security (有不動產抵押貸款擔保的債券), 它的現金流因為太複雜了, 所以用等效 effective duration DE 來表示. 在這個情況下, 它的 convexity 未必為正.

總而言之, 真實利率的高低, 會對於債券和股價都造成影響. 如果給定 duraition 和 convexity, 要求出 acutal price, 雖然計算上是有可能的. 但是數字亂給的話, 可能會求出負的 yield. 比方說 D = 8 年, C = 150 年. 不過, 我看過真的有人舉這個例子耶, 是我太愚鈍了? 還是舉例的人太隨興了??

債券評價

話說有個債券之神葛洛斯, 他以投資債券見長. 不過在一般人, 包括我, 的心中, 應該看不透債券有什麼搞頭, 不就跟定存單一樣嗎?

然而, 讀計量經濟的人不是這樣想的, 他們心目中的債券利率, 並不是債券上的票面利率. 包括每個公司的可轉債, 其價值都不是票面利率, 甚至於無票面利息的債券, 都有投資的價值.

假設有一個固定收益的債券, 每半年會配發 6% 的利息, 10 年後到期, 可獲得 1,000 元. 那麼這張債券應該賣少錢呢?

由於利息會併入根據複利的計算:

PV = 1,000 / (1+6/200)20 = 553.68

但是, 這只不過是說明了在債券標售的時候, 它合理的售價. 若是不在第一天就持有, 而是在這 10 年間做買賣的話, 它的價值就不是 553.68 元了. 這個價值因為會隨著時間變動, 因此 maturity 才會有價值~~~

比方說現在存款利率變了, 那麼這張債券的價值也會改變! 兩者怎麼比較呢? 我們可以用一個 yield 來表示新的利率. 半導體業講 yield rate, 金融界也講 yield rate. 假設 yield 愈高, 亦即同樣的錢拿去存銀行, 利率都比債券高. 那麼債券的價值當然是下滑.

假如想要速算利率波動對於票面利率 6% 的債券價值的影響, 那就得用到泰勒展開式. 假如兩者利率差一大截, 就算是數學白癡都可以感覺得出來, 那麼當然是用不到公式了.

泰勒展開式先假設一個 function 可以用 f(y+Δh) = a0 + a1Δh+ a2Δh2 + a3Δh3 + … 來表示.

那麼分別設 Δh =0、 一次微分後, 再設 Δh =0 、二次微分後, 再設 Δh =0、…

就可以求出 a0 、 a1、a2、a3 等等,

帶回原式, 得到在特定的 y0 點附近, 

f(y0  +Δh) = f(y0 )+ f'(y0) Δh+ f(y0)"/2 Δh 2 + …

或者

=f(y0 ) – [ D*×f(y0 )]/] Δh+ [C×f(y0 )]/2 Δh 2 + …

 

其中

D*=T/(1+y) … Modified Duration

 

C=T×(T+1)/(1+y)2…Convexity

 

T=20 表示 10 年共有 20 期, y 表示原始的 yield rate.

D*= T/(1+y)T = 20/(1+6/200) = 19.42

C = T×(T+1)/(1+y)2 = 20*21/(1+6/200)2 = 395.
 
又由於 yield 是半年的利率, 所以 duration 要減半, convexity 要減為 (1/2)2
 
假設利率由 6% 上升到 7%, 那麼 Δh = 0.01, PV = 553.68

新的 PV = 553.68 (1-9.71×0.01+ 98.97×0.012)= 502.66

這表示利率上漲, 債券的價值降低. 這稱之為 discount bond. 反之, 利率大跌, 債券的價值就上升, 這稱之為 premium bond,  表示溢價. 當利率不變的話, 稱為 par bond, 感覺是高爾夫球打了標準桿.

我想葛洛斯應該就是把這些債券賣來賣去而賺錢的吧!

[reference]

債券天王葛洛斯 敢嗆聲更勇於認錯

Figuring a Bond’s Worth

2009/6/14 補充

f'(y0) 這種一次微分, 又叫做 dollar duration (DD). f'(y0) = DD = -D* × f(y0 )

f"(y0) 這種二次微分, 又叫做 dollar convexity (DC). f"(y0) = DC = C × f(y0 )

Need 的用法

女兒的講義有一題英文選擇題. need 後面接動詞 (用 do 代替之), 四個選項中有 3 個大概像這樣:

to do, doing, to doing.

我覺得應該是 to do. 主動的 need 用 need to do, 被動的 need doing = need to be done. 不過咧, 後面的標準答案卻是 need to doing. 真是奇哉怪也~~~

我在網路上找了一些資料, 當然也查過字典了. 不過我想那個答案應該是錯的吧?! 雖然這本講義中提到很多不及物動詞 (如 busy) 省略介係詞 (如 in, 或不省略) + V-ing 的例子, 不過我不認為 need 也是其中之一啊?

動詞的分類(依據受詞分類)

help to VR = help VR

        learn to VR (v.s) learn V-ing

        need to VR (主動) / need V-ing (被動)= need to be p.p.

          Your car is so dirty. You need to wash it.

高中英語語法 ——ing分詞的用法

          Your car is so dirty. It needs washing. = It needs to be washed.

        prefer to VR rather than VR = prefer Ving to Ving

[轉載] 美國學生考數學

 

第一題：將以下方程式展開

 

展開~~~展開~~~再展開~~~越來越開…………………

第二題：找出 X

真是好找啊~~ 這個學生應該覺得老師是笨蛋吧 ~~

第三題：極限概念

 

人的忍耐是有極限的~~

 

第四題：約分？

無言~~

第五題：！！！﹝無語﹞

問蒼天~~

 

Cash> 我有個疑問, 問題 5 的正解是甚麼? 這題像是杜撰的吧!? 如果是 sinx/x 約分成 sin, 我倒是可以理解~~~ 求 lim x→∞ sinc(x) = lim x→∞ sinx/x? 很常見.

 

財務計算的二三事

財務風險可以分為很多種, 簡單地說可以用 MCO 三個字來記憶. M 表示 market (市場), C 表示 credit (信用), O 表示 opertion (營運). 如果不景氣, 可以算做是市場風險, 倒帳算是信用風險, 而公司倒閉可能是營運風險. 衡量以及管理風險本身也是一門學問.

搞財務的人愈重視報酬率, 大家的風險也就愈大. 為什麼呢? 因為風險的衡量也是一種藝術, 一不小心就會因為數學上的有利, 搞到人破產、公司倒閉的程度. 前幾年的次貸風暴與衍生性金融性商品的大海嘯正是這樣產生的. 因此即便可以很快地用計算機算出某個套利是否值得一為? 還是要考慮到其中的風險問題, 才不至於偷雞不著蝕把米.

根據金錢的時間價值 (time value of money, TVM), 未來的價值 FV 可以用現在的價值 PV 來求出. 所依據的利率稱之為 compounding, 我覺得 compounding 本身就有複利的 “複" 的意思. 而和其對稱的則是 discounting (貼現), 表示未來往現在看的 “利率" (discount rate).

除了利率的概念之外, 很多人都聽過機會成本 (oppotunity cost). 我第一次聽到這個名詞是 20~30 年前, 路上的一個英語會話錄音帶的推銷員, 對我溜了這個名詞. 除了機會成本之外, 還會有機會捨棄 (opportunity forgone ?). 所有的成本都是機會成本, 但是我們會明智地做出最好的決定, 而把捨棄掉的最好的選項當作機會成本.

過去我曾經在勝間和代的書上看到無風險利率一詞, 這個指的是美國的 US Treaure Bills (T-Bills, 國庫券?), 除此之外, 所有的投資都有 3 種風險: default risk (如通膨 inflation)、liquidity risk (流動性風險, 物到急用不值錢), 以及 maturity risk (到期風險, 20 年後到期的債券風險一定比現在高), 有了這些風險, 未來的錢必然比較不值錢, 必須扣掉風險的貼水 (premium).

單一的投資 (single cash flow), 可以用先前在 “複利計算" 時提到的公式來求取. 整個利率的項目, 甚至可以用一個名詞 present value factor (= discount factor) 來概括: PV = FV * discount factor.

如果是年金 (annuity) 的話, 計算方式稍有不同. 一般的年金是用 PV = 0 來計算. 也就是說, 剛開始沒有放錢, 但是每個年度都繳x 元, 在繳了 N 年之後, 它會以某個年利率 Interest per year (I/Y) 計算出應該給被保險人多少錢. 最後領到的這筆錢一定比 N * x 要多, 但是比 x * (1 + I/Y)^N 少, 這就是年金的特性. 早期存的錢生出較高的利息, 而後來繳的錢就比較 “不值錢".

啊, 老人年金呢?  老人年金可是要領到死的喔! 這類理論上領不完的年金稱之為 perpetuity. 和老人年金等價的是什麼呢? 那就是公司發放的股利. 假如一家公司每年發出 x 元的股利, 假設投資報酬率 (rate of return) 是 a, 那麼股價 (PV) 應該值多少錢呢?

PV = x / a

不過這個跟廢話一樣, 欲拿 x 元股利, 當然是用 PV * a.  若是未來真的會一直發股利, PV 這樣算真是太便宜了. 

比較難一點點的是有賺有虧的公司, 如果某家公司忽虧忽賺, 那麼在投資報酬率 a 的條件下, 竟然可以算出它的 FV. 我想這就是純會計的罩門了. 根據標準的做法, 這個和年金一樣, 都是用每一年的個別運算去加總 FV. 不過每年都小賺的公司, 一定比高來高去的公司有更高的 FV 吧!