自從川普 2.0 之後, 讓我想要惡補一下財經這個領域. 回想起當時亂花的錢, 流失的歲月和破碎的記憶. 先來複習十六年前讀過的東西好了.
[常用縮寫]
- T = numbers of annuity payments
- r = the interest rate
- g = growing rate
- Po = Present value of annuity
- PMT = Payment
- A = annuity payment
- PT = Expected future value of investment
- n = number of compounding periods
- FV = Future value of an annuity
- PV = Present value of cash flows
[基本公式]
PT = Po(1 + r)T
Po = PT(1 + r)-T
- if Perpetuities, T ->∞,
Po = (A/r) (1-(1 + r)-T) = A/r
[縮寫公式]
Annual Compound Factor = ACF(r, n) = [(1+r)n −1]/r
Annual Discount Factor = ADF(r, n) = (1−(1+r)-n)/r
[分期付款]
貸款金額的複利本利和 = 每月還款金額的 ACF,
假設貸款 100 萬, 每個月還 1 萬, 一共還 10 年, 共 120 期.
理解為現在的 100 萬, 放著會生利息, 最後得到 Fv. 由貸款人每個月 PMT 的 ACF 償還.
100 * (1+r)120 = ACF(r, 120) = [(1+r)120 −1]/r
100 = [1-(1+r)-120 ]/r
PV = PMT * [1-(1+r)-n ]/r
[不斷配息的股票]
有個股票, 每年無止盡地配息 100 元, 堪比永動機, 股價為何不是無限大?
Perpetuity is a series of equal payments of a fixed amount for an
infinite number of periods.
- if Perpetuities, T ->∞,
Po = (A/r) (1-(1 + r)-T) = A/r
假設機會成本為 5%, 該股票只值 2,000 元.
[利息成長的股票] (Growing Anuity)
假設這個股票不只是每年配息 A, 利率 r, 還會以 g 的比例成長, 那價值應該更高了吧!
第一年, 配息 A
第二年, 配息成長為 A(1+g)
第 n 年, 配息成長為 A(1+g)n-1, 折現為 A(1+g)n-1 / (1+r)n
將無限多年的折現現金流加起來:
PV = ∑ｔ=1∞ A(1+g)ｔ−1 / (1+r)ｔ
把 １+r 和 1+g 的指數弄成一樣 PV = A / (1+r) * ∑ｔ=1∞ ((1+g) / (1+r))ｔ-1
因為 ∑ｔ=0∞ xｔ=1 / (1−x) 當 ∣x∣<1. 也就是末項趨近於 0, 首項為 1 的等比級數公式特例.
其中, 乘號左邊為 A / (1+r), 右邊為 1 / (1-x), 其中 x = (1+g)/ (1+r)
右邊 = 1 /( (1+r-1-g)/ (1+r)) = 1 /( (r-g)/ (1+r)) = (1+r) / ( r-g)
PV = (A / (1+r)) * (1+r)/ (r-g) = A / (r-g)
當然 r > g 的時候本公式都符合直覺. 忘掉一切, 只記得 A / (r-g) 就好.
[利息成長的縮寫公式]
Annual Discount Factor = ADF(r, n, g) = 上面沒投機化簡的 PV = A / (1+r) * ∑t=1n ((1+g)/ (1+r))t-1 ,
老老實實地按等比級數求和展開, 乘號右邊 ∑t=1n ((1+g)/ (1+r))t-1 = 1-(1+g)/ (1+r))n / ( 1- ((1+g)/ (1+r)))
PV = A / (r-g) *(1- ((1+r)/(1+g)) n-1)
同樣的思路可以推導出, ACF (r.n.g) = A/(r-g) * ((1+r)n – (1+g)n)
以前除了手算, 考試可以用財務計算機. 我手上的 TI BA II Plus 已經沒電了, 但沒有換電池的必要, 現在有 Excel 處理這些東西, 更可以無腦問 AI. 不過呢, 直覺是慢慢培養起來的, 一直問 AI, 自己沒辦法產生敏銳度~~~
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