利率公式小整理

自從川普 2.0 之後, 讓我想要惡補一下財經這個領域. 回想起當時亂花的錢, 流失的歲月和破碎的記憶. 先來複習十六年前讀過的東西好了.

[常用縮寫]

  • T = numbers of annuity payments
  • r = the interest rate
  • g = growing rate
  • Po = Present value of annuity
  • PMT = Payment
  • A = annuity payment
  • PT = Expected future value of investment
  • n = number of compounding periods
  • FV = Future value of an annuity
  • PV = Present value of cash flows

[基本公式]

PT = Po(1 + r)T

Po = PT(1 + r)-T

  • if Perpetuities, T ->∞,

Po = (A/r) (1-(1 + r)-T) = A/r

[縮寫公式]

Annual Compound Factor = ACF(r, n) = [(1+r)n −1]/r

Annual Discount Factor = ADF(r, n) = (1−(1+r)-n)/r

[分期付款]

貸款金額的複利本利和 = 每月還款金額的 ACF,

假設貸款 100 萬, 每個月還 1 萬, 一共還 10 年, 共 120 期.

理解為現在的 100 萬, 放著會生利息, 最後得到 Fv. 由貸款人每個月 PMT 的 ACF 償還.

100 * (1+r)120 = ACF(r, 120) = [(1+r)120 −1]/r

100 = [1-(1+r)-120 ]/r

PV = PMT * [1-(1+r)-n ]/r

[不斷配息的股票]

有個股票, 每年無止盡地配息 100 元, 堪比永動機, 股價為何不是無限大?

Perpetuity is a series of equal payments of a fixed amount for an
infinite number of periods.

  • if Perpetuities, T ->∞,

Po = (A/r) (1-(1 + r)-T) = A/r

假設機會成本為 5%, 該股票只值 2,000 元.

[利息成長的股票] (Growing Anuity)

假設這個股票不只是每年配息 A, 利率 r, 還會以 g 的比例成長, 那價值應該更高了吧!

第一年, 配息 A

第二年, 配息成長為 A(1+g)

第 n 年, 配息成長為 A(1+g)n-1, 折現為 A(1+g)n-1 / (1+r)n

將無限多年的折現現金流加起來:

PV = ∑ｔ=1∞ ​A(1+g)ｔ−1​ / (1+r)ｔ

把 １+r 和 1+g 的指數弄成一樣 PV = A / (1+r) * ∑ｔ=1∞ ​((1+g) / (1+r))ｔ-1

因為 ∑ｔ=0∞ ​xｔ=1 / (1−x) 當 ​∣x∣<1. 也就是末項趨近於 0, 首項為 1 的等比級數公式特例.

其中, 乘號左邊為 A / (1+r), 右邊為 1 / (1-x), 其中 x = (1+g)/ (1+r)

右邊 = 1 /( (1+r-1-g)/ (1+r)) = 1 /( (r-g)/ (1+r)) = (1+r) / ( r-g)

PV = (A / (1+r)) * (1+r)/ (r-g) = A / (r-g)

當然 r > g 的時候本公式都符合直覺. 忘掉一切, 只記得 A / (r-g) 就好.

[利息成長的縮寫公式]

Annual Discount Factor = ADF(r, n, g) = 上面沒投機化簡的 PV = A / (1+r) * ∑t=1n ​((1+g)/ (1+r))t-1 ,

老老實實地按等比級數求和展開, 乘號右邊 ∑t=1n ​((1+g)/ (1+r))t-1 = 1-(1+g)/ (1+r))n / ( 1- ​((1+g)/ (1+r)))

PV = A / (r-g) *(1- ((1+r)/(1+g)) n-1)

同樣的思路可以推導出, ACF (r.n.g) = A/(r-g) * ((1+r)n – (1+g)n)

以前除了手算, 考試可以用財務計算機. 我手上的 TI BA II Plus 已經沒電了, 但沒有換電池的必要, 現在有 Excel 處理這些東西, 更可以無腦問 AI. 不過呢, 直覺是慢慢培養起來的, 一直問 AI, 自己沒辦法產生敏銳度~~~

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