排列組合小註解

終於咱家女兒上到了排列組合, 這個令很多人一頭霧水的數學單元. 它大概有幾種情況.

1. N 個不同的東西依序排列, 其順序有意義的話, 第一個位置有 N 個可能, 第二個位置剩下 N -1 種可能, 依此類推, 共有 N! 種排列方式.

2. 如果有 N 種東西, 只能搶 K 個位置, 當然第一個位置仍然有 N 種可能, 第二個位置剩下 N -1 種可能, 第 K 個位置剩下 N – K + 1 個可能. 也就是 Pnk = N! / (N-K)!.

3. 如果 K 個位置中, N 個東西可以重複出現, 那麼排列就有 Nm 種, 稱為重複排列.

來個應用題, 7 個人搭 3 輛車, 可以有幾種排列方式? P73? 37, 73?

如果是 P73, 其實表示最後只有 3 個人上得了車, 每車一個人. 就像是玩大風吹那樣.

如果是 73, 表示每輛車可以從 7 個人中選一個人來上車 (我們就假設車子有意志好了), 第一輛車選上了甲, 而在重複排列的條件下, 第二輛車還是可以選甲. 以至於受歡迎的甲會被兩三輛車子載走 (how? 聽起來不合邏輯), 而其他人可能只得乾瞪眼.

因此可以放在假數 (mantissa ) 位置的, 必須是容器, 可以重複出現的. 放在指數 (exponent) 位置的, 必須是獨立不可切割的, 或是獨立事件.

4. 更進一步是, 若排列物的本身就無法分辨其差異, 例如紅球, 白球, 鉛筆之類的東西. 排列出來也要再打個折扣. 也就是要除以不能分辨的子集合的排列數. 三支鉛筆和五個橡皮擦的排列. 將會得到:

(3+5)! / 3!5!

5. 組合的概念和排列不同, 排列強調有序, 組合只考慮一堆一堆的. 這裡會出現大家熟悉的 Cnk. 也就是從 n 個東西裡面拿出 k 個的組合方式. 既然已經變成無差別的一堆了, 就等於 Pnk /K! = N! / (N-K)!K! = Cnk.

由於這個式子和情況 4 的狀態很像, 我們可以想像成把 n 個東西分成兩堆, 第一堆表示選上了, 第二堆表示沒選上. 選上的那堆無差別, 像是紅球或是鉛筆, 另一推落選的也無差別, 像是白球或是橡皮擦.

6. 再來就是重複組合, 重複組合的公式很簡單, 但是觀念比較難. 網路上的這個例題不錯.

候選人名,選舉人 18 名,且無廢票,下列各種情形之下結果有幾種?解答

  1. 記名投票之情形。

  2. 不記名投票之情形。

第一小題的答案當然是 418.

第二小題的部分, 此時可以把投票結果想像成票有 4 堆, 堆與堆之間用空格來分別那是誰的票.

由於每一堆代表一位候選人的票, 這個排列是有序的. 而選票本身未記名, 所以它是無差別的. 只要插入一些空格, 它完全符合情況 4 的描述.

因此本小題相當於 18 張票和 3 個空格在排列. 我們套用情況 4 的概念, 組合數是 C 4+18-1 3 或 C 4+18-1 18種. 

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