登堂入室不容易

我覺得女兒的數學考題真是愈來愈刁鑽了. 這次考的題目是:

設一室有 a, b, c, d, e 五個門, 甲乙丙三人由不同的門進出此室各一次, 但每個人不得由同一門進出, 共有幾種方法.

先考慮進去的方法, 假設甲有 5 個選擇, 乙有 4 個選擇, 丙就只剩 3 個選擇, 所以進去的方法有 5 x 4 x 3 = 60 種方法. OK!

出來的方法呢? 女兒說: 甲剩下 4 個選擇, 乙剩下 3 個選擇, 丙剩下 2 個選擇, 所以出來的方法有 4 x 3 x 2 = 24 種方法. 那裡不對?

這個嘛, 寫程式容易 debug 難. 想要指出錯在哪裡還是要 study 一下, 關鍵在於要先摸清題意.

先來看看標準答案:

假設不合法的集合是: A, B, C 三個集合的聯集.

集合 A 是甲從 x 門進又從 x 門出, 集合 B 是乙從 y 門進又從 y 門出, 集合 C 是丙從 z 門進又從 z 門出.

如果先不管是否合法, 甲已經選 x 門進, 又從 x 門出, 乙和丙的選擇共有 4 x 3 = 12 種組合. 乙, 丙依此類推.

若甲已經選 x 門進 x 門出; 乙同樣選 y 門進 y 門出; 則丙只剩 3 個門可以選. 甲丙, 乙丙依此類推.

若甲乙丙都犯規, 組合只有  1 種.

n(X) 表集合內的個數. U 表示聯集, 姑且用  n 表示交集.

60 – n(A U B U C) = 60 – [n(A) + n(B) +n(C)  – n (A n B) – n(A n C) – n(B n C) + n(A n B n C)] 

= 60 – [ 12 + 12 + 12 – 3 – 3 – 3 + 1] = 32

所以不考慮犯規, 進去和出來的方法都是 60  種, 列舉如下:

{a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e},

{a, c, b}, {a, c, d}, {a, c, e},

{a, d, b}, {a, d, c}, {a, d, e},

{a, e, b}, {a, e, c}, {a, e, d},

{b, a, c}, {b, a, d}, {b, a, e},

{b, c, a}, {b, c, d}, {b, c, e},

{b, d, a}, {b, d, c}, {b, d, e},

{b, e, a}, {b, e, c}, {b, e, d},

{c, a, b}, {c, a, d}, {c, a, e},

{c, b, a}, {c, b, d}, {c, b, e},

{c, d, a}, {c, d, b}, {c, d, e},

{c, e, a}, {c, e, b}, {c, e, d},

{d, a, b}, {d, a, c}, {d, a, e},

{d, b, a}, {d, b, c}, {d, b, e},

{d, c, a}, {d, c, b}, {d, c, e},

{d, e, a}, {d, e, b}, {d, e, c},

{e, a, b}, {e, a, c}, {e, a, d},

{e, b, a}, {e, b, c}, {e, b, d},

{e, c, a}, {e, c, b}, {e, c, d},

{e, d, a}, {e, d, b}, {e, d, c},

如果扣掉不合法的集合是怎麼算的? 假設甲乙丙各自由 a, b, c 三門進入. 則扣除出去方法中: a 在開頭的 12 個, b 在第二的 12 個, c 在第三的 12 個, 扣掉重複的確實是 28 個.

{a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e},

{a, c, b}, {a, c, d}, {a, c, e},

{a, d, b}, {a, d, c}, {a, d, e},

{a, e, b}, {a, e, c}, {a, e, d},

{b, a, c}, {b, a, d}, {b, a, e},

{b, c, a}, {b, c, d}, {b, c, e},

{b, d, a}, {b, d, c}, {b, d, e},

{b, e, a}, {b, e, c}, {b, e, d},

{c, a, b}, {c, a, d}, {c, a, e},

{c, b, a}, {c, b, d}, {c, b, e},

{c, d, a}, {c, d, b}, {c, d, e},

{c, e, a}, {c, e, b}, {c, e, d},

{d, a, b}, {d, a, c}, {d, a, e},

{d, b, a}, {d, b, c}, {d, b, e},

{d, c, a}, {d, c, b}, {d, c, e},

{d, e, a}, {d, e, b}, {d, e, c},

{e, a, b}, {e, a, c}, {e, a, d},

{e, b, a}, {e, b, c}, {e, b, d},

{e, c, a}, {e, c, b}, {e, c, d},

{e, d, a}, {e, d, b}, {e, d, c},

不過, 剩下的 32 個答案中還是有 a, b, c 出現對吧! 這也就是說, 即使 a, b, c 三門已經給人走過了, 但這個門只要不是我自己走進來的, 我就可以走出去, 不用管別人走過沒有! 相反地, 在走進來的時候我可是會顧慮有沒有和別人重複走喔?

若是把有 a, b, c 的都劃掉. 喔喔! 至少有一個人走不出去, 因為這樣需要 6 個門才可以, 還少了一個門. 因此題目應該改為下面這樣才不算誤導.

  設一室有 a, b, c, d, e 五個門, 甲乙丙三人由不同的門進入此室, 每個人不得再由同一門走出, 共有幾種方法? 

最後, 女兒說的 4 x 3 x 2 代表啥呢? 要改的地方太多, 不如改個題目吧!

設一室有 a, b, c, d, e 五個門, 甲乙丙三人由不同的門進入此室, 每個人不得再由有人進入的門走出, 共有幾種方法?

啊! 今天報紙上說很多人學測滿級分呢! 真厲害啊…出怪題而不染, 小小年紀就能保持頭腦清醒, 不容易.