不可能定理 (Impossibility Theorem)

艾羅 (Kenneth J．Arrow)以不可能定理聞名於世, 雖然他並不是最早發現這件事的人, 但是能以簡單的邏輯說明這個定理, 造就了他不可動搖的學術地位. 艾羅因此在 1972 年獲得諾貝爾經濟學獎.

什麼是不可能定理呢? 用我的話來說, 就是一群各自對於事物有不同程度的喜好的人, 當大家以一人一票表決的時候, 不可能選出大家真正最偏愛的答案, 而是近乎選出最不討厭的結果. 所以即使是少數服從多數, 不但少數人可能不爽, 多數方也不見的真正滿意. 想要用投票方式挑出最佳選項, 在某些時候是不可能的.

關於定理的細節, 網路上有很多資料, 書上也有詳盡的說明, 遠勝過我在這裡重複一遍. 我之所以要提這個東西, 主要是直到前陣子看了一本書為止, 我以前都沒有聽過它呢! 從小我們都被教導要少數服從多數, 投票選出來的就是最好的. 長大之後, 也會把民主選舉中的 "棄 X 保 Y" 當作時代的逆流. 但實在想不到原來常態就是這個樣子. 從聚餐要吃什麼? 哪一支股票熱門? 其實都有不可能定理的影子. 人類避兇甚於趨吉, 到處皆然!

這是一個數位的時代, 原本人類捉摸不定的心意, 被數字化測量之後, 其實已經產生了量化誤差 (quantization error). 而且這個量化還是不均勻的量化, 討厭的部分 (dead zone) 特別地大! 透過票選來表達之後, 更是變成了二值化 (binarize), 如此要沒有誤差也就難了.  把大家二值化的結果放在一起, 再測試看看是否通過一個動態門檻 (threshold) – 相對多數, 這就是我們現代的選舉囉…

選舉的制度可能會再進化. 即使在還沒有改進之前, 還是比獨裁好!

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1.阿罗的不可能定理