伯努利一族

說到伯努利 (Bernoulli), 大家一定都難忘 "白努力" 原理, 我這次就是要講這位伯努利. 其實伯努利一家可說是一門忠烈, 充分展現出優良的遺傳血統.

與葛朗特, 佩蒂, 哈雷同期, 波爾羅亞 (Port-Royal) 出版了一本 "邏輯". 主張做決定時不在乎機率, 只顧慮後果的人, 想必對於風險懷有病態的恐懼. 而伯努利家的成員丹尼爾伯努利 (Daniel) 在 "新理論" 一書中, 反過來強調, 如果只考慮機率, 而不考慮後果, 那才叫做有用無謀. 換言之, 事件的後果和風險的高低, 分別為兩種衡量事情的標準.

伯努利相當反對 "期望值" 這件事, 他認為應該強調 "效用"; 因為機率是一種數學, 但是人就是人. 在一架遭遇亂流的飛機中, 會不會活下去可以用機率去描述, 但是緊不緊張是另外一件事, 甚至還有人在呼呼大睡呢! 因此伯努利不認為機率應該決定我們的行為.

伯努利說: "財富小量增加所產生的效用跟原來擁有的財富數量成反比." 這個立論在後來被很多人反對, 但是它就是 "彼得堡矛盾" (Petersburg Paradox) 問題的文字版. Nicolaus III Bernolli 最早提出這個問題, 他假設有甲乙兩個人賭博, 甲丟一枚銅板, 直到出現正面為止. 若第一次就出現正面, 甲給乙 1 元, 第二次才出現正面, 甲給乙 2 元, 第三次就是 4 元, 第 N 次才出現正面, 甲就要給乙 ^2N-1 元. 看起來乙絕對是贏家, 說不定可以變成億萬富翁; 但是你願意用多少錢來買乙的權利呢? Daniel Bernolli 說, 雖然這個賭局中, 乙的財富可能無上限, 但是考慮到機率, 有人願意花 20 塊來買就應該要很高興了.

根據機率,  乙的期望值是贏取 1/2 x 1 + 1/4 x 2 + 1/8 x 4 + ….+1/2^k 元, 勉強算是 1 元吧! 你我都可以想像: 甲連續失手 50 次, 使得乙可以贏得 1,000 兆的美夢, 其實是有點不切實際的. 至於甲失手 1,000 次可以帶給乙多大的財富, 其實對乙已經沒差了,  反正就是天文數字, 不至於因為那個期望而更加地熱血! 另一方面, 有人會花錢買乙的權利, 有些人則不會, 一般人決定要不要買彩券的心理也是如此.

伯努利所講的效用, 可以衍生為效用遞減的理論. 也是後來維多利亞時代供需法則 (the Law of Demand and Supply) 的基礎, 提出這理論的經濟學家是馬歇爾 (Alfred Marshall).

談完兒子再來談老爸 Jacob Bernoulli, 既然有大數法則掛在他的名下, 大家應該知道這位老兄對機率有著驚人的貢獻. Jacob 在 1703 年的時候, 正在思考用少數樣本 (先驗機率) 來推算機率的問題. 請注意, 以前的骰子問題都是先有機率模型, 然後評估每一個事件發生的機率.  而 Jacob 則反過來看待這個問題. Jacob  因為自己想不通, 就寫信給萊布尼茲求教. 他說: 我們知道擲兩粒骰子的時候, 出現 7 的機率比出現 8 的機率高, 卻無法知道一名二十歲男子的壽命是否會比一個六十歲的老人長, 實在是不可思議. 萊布尼茲回信認為: 有限的樣本, 不可能推導出甚麼結論, 就算是有結論, 也並非每件事都能符合, 只有大部分如此.

看似潑冷水的回覆, 其實給了 Jacob 一個方向. 那就是並不需要強求精準, 只要大致上符合就好了. 即使擲無限次的銅板, 正反面的機率也不保證是 1/2, 只是誤差比較小而已. Jacob 說, 假如有一個罐子裡面有 3,000 顆白石頭與 2,000 顆黑石頭, 只要反覆地從罐子裡面拿石頭出來 (看完還要丟回去), 大致就可以得到白石頭與黑石頭為 3:2 比例的結論. 若是拿個 25,550 次, 將有 1000/10001 的機率, 發現兩色石頭的比例在 3:2 的 2% 誤差以內. 這是首次有人訂出 "幾乎可確定為必然" 的標準.

Nicolaus II (綽號慢半拍, Nicolaus the Slow) 後來繼續 Jacob 的研究, 他的研究方法和伯父是互補的. 他專門研究在特定的誤差下, 應該要取樣幾次. 換言之, 觀察次數和誤差是可以互換的. 比方說新生兒中男女嬰的比例是 18:17, 但也有 43.58:1 的機會, 實際出生的男嬰和期望值有正負 163/7200 的出入. 經由伯努利一族的發揚光大, 機率又往前進了一步.

本文整理自 "Against the Gods" 第六章, 第七章.