配息債券之價格

上回提到不配息債券的評價方式, 這次來整理有配息的債券.

有配息的債券因為每隔一定的期間就會發一點利息回來, 所以每一次配息就是一個獨立的現金流.

P = ∑_t=1^T C_t / (1+y)^t

 

其中 P 是債券的合理價格 (re-pricing), Ct 是第 t 次的現金流, y 是 yield. 那個 ∑ 就是把 t = 1~T 都加起來. 像是公司配息、老人年金, 都可以用這個模式來計算, 只是 T 假設為無限大.

P = ∑_t=1^∞ C_t / (1+y)^t=cF [1/(1+y)+1/(1+y)²+1/(1+y)³+1/(1+y)⁴+…] = c/y F

 

其中 c = 配息率 (coupon rate), F 等於面值 (face value), 化簡的部分是用等比公式. 最後的結論就是前次在財務二三事說到的: 價值 = 配息 / 利率

那麼這種債券會受到利率變動的影響嗎? 當然也會囉.

認真地把 dP/dy 微分一下, 就會得到看了就煩的

D = ∑_t=1^Tt [C_t /(1+y)] /  [∑_t=1^T C_t / (1+y)^t] = ∑_t=1^T t ×w_t

 

為什麼等式最右邊變簡單了? 因為我們把 w_t 定義為每次配息現金流對於所有配息現金流的比率了. 這裡給了我們一個啟示.

若是 D 意味著每次配息現金流對於所有配息現金流的比率, 那麼只在最後一次才配息的無配息債券 (zero coupon bond),  豈不是 D  (duration) = 到期日 (maturity). 換句話說, duration 不是隨便起的名字, 它的確有時間的意義在裡面.

至此也可以理解, 當初無配息債券的 D 為何要叫做 modified duration 了. 因為它的 D 應該是到期日 T (存續期間) 才對. 

若是我們算出了另外一個意義上的 D^* = T / (1+y), 只好叫它D* 啦!

不含 1/(1+y) 的 D, 它的學名叫做 Macaulay duration. 其數學意義就是價格對利率的微分, 因此可以反映出利率變化後, 價格對應的變化比例.

那麼無止盡存在, 會一直配息的滿帆商事公司的股票 (滿帆商事這家公司在庶務二課這部影集中, 不管內部多爛, 外部多強都倒不了, 故引用之), 它的 duration 又是多少呢?

P = c/y F

D = dP/dy = d [c/y F]/dy = cF (-1/y²) = -1/y ×P = [D_c/(1+y)]×P

此時 D_c = (1+y)/y

那個小  c 是什麼呢? 因為這種公司 consolidated annuities 或 consolidated stock 又簡稱為 consols, 所以用它的 c 來表示. 

D_c 是 duration 的上限, 也就是說, 到了這個 D 年就應該划算了.

假設某家公司的殖利率為 6%, 那麼 17.67 年之後, 買股票所花的錢就拿回來了. 不過 18 年真的很久耶, 薛平貴都從西涼回來了~~~

幸好它只是 upper bound. 因為它是 price 的一次微分, 可以視為 yield-price 曲線的切線. 真的要準一點的話, 至少要考慮 2 次項, 也就是 convexity.

加上 convexity 的影響之後, 因為它隱含 (Δh)²在內, 所以永遠是正的.

若 yield 走高, price 下降, convexity 會讓估計值上升, 夾集出合理的價位.

duraiotn ≤ actual price ≤ duration + convexity

若 yield 走低, price 上升, convexity 會讓估計值更上升, 更準確. 但此時就不會夾集 actual price 了, 不然不是愈修正愈偏差?

duraiotn ≤ duration + convexity ≤ actual price 

三種證券的 D 和 Macaulay duration 並列如下.

zero coupon bond:  modified duration = D* = T / (1+y), T = Macaulay duration

coupon paying coupon: D =  ∑_t=1^T t ×w_t

consols:  D = D_c/ (1+y), D_c = Macaulay duration

還有個 mortgage-backed security (有不動產抵押貸款擔保的債券), 它的現金流因為太複雜了, 所以用等效 effective duration D^E 來表示. 在這個情況下, 它的 convexity 未必為正.

總而言之, 真實利率的高低, 會對於債券和股價都造成影響. 如果給定 duraition 和 convexity, 要求出 acutal price, 雖然計算上是有可能的. 但是數字亂給的話, 可能會求出負的 yield. 比方說 D = 8 年, C = 150 年. 不過, 我看過真的有人舉這個例子耶, 是我太愚鈍了? 還是舉例的人太隨興了??